Já vimos anteriormente como testar se existe diferença entre duas médias \(\mu_1\) e \(\mu_2\) de duas populações independentes. Ou seja:

\[H_0: \mu_1=\mu_2 \quad \mbox{vs} \quad H_a: \mu_1 \neq \mu_2\]

Considerando o caso das variâncias iguais e desconhecidas, usamos \(s_p^2\) como estimador da variância \(\sigma^2\) e temos a estatística do teste: \[T= \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{ \sqrt{s_p^2 ( \frac{1}{n} + \frac{1}{m}} )} \stackrel{H_0}{\sim} t_{n+m-2}.\]

Mas e se quiséssemos comparar as médias de 3 ou mais populações (grupos)?

Exemplo: O Departamento de Estatística oferece o curso ME414 todo semestre para várias turmas. Suponha que queremos saber se existe diferença significativa no desempenho na P1 entre as turmas A, B, C e I.

Poderíamos comparar as médias duas a duas, certo?

No entanto, isso não é muito viável quando temos muitos grupos.

A técnica estatística adequada para esse tipo de problema, com a qual pode-se comparar se as médias de várias populações (grupos) são todas iguais com um único teste é chamada de Análise de Variância (ANOVA).

Objetivo: Comparar se as médias de 3 ou mais populações (grupos) são iguais.

Hipóteses: \[\begin{aligned} H_0: &\mbox{as médias são as mesmas para todos os grupos} \\ H_a: & \mbox{pelo menos uma média é diferente das demais} \end{aligned} \]

Em termos estatísticos: \[\begin{aligned} H_0: &\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k \\ H_a: & \mbox{pelo menos uma média é diferente das demais} \end{aligned} \]

A estatística do teste, chamada de F, é conceitualmente o seguinte: \[F = \frac{\mbox{Variação Entre as Médias Amostrais dos Grupos}}{\mbox{Variação Média Dentro dos Grupos}}\]

Devemos checar três condições nos dados onde iremos realizar a ANOVA:

• as observações são independentes dentro dos grupos e entre os grupos;

• os dados dentro de cada grupo são aproximadamente normais; e

• a variância é aproximadamente constante entre os grupos.

Um conceito fundamental em Análise de Variância é que a variação total dos dados, considerando todas as amostras como vindas de uma única população, pode ser separadas em duas partes:

• variação devido às diferenças entre as médias dos grupos

• variação das observações dentro de cada grupo

Ou seja, escrevendo como uma equação:

\[\mbox{Variação Total = Variação Entre Grupos + Variação Dentro dos Grupos}\]

Iremos ver agora como medir cada uma dessas variações.

Veja que a média e variância amostral para cada grupo são calculadas como: \[\bar{X}_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_{ij} \quad \mbox{e} \quad s_i^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{j=1}^n (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\]

Considere a seguinte notação:

\(k\): número de populações ou grupos

\(n\): tamanho de cada grupo

\(X_{ij}\): a \(j\)-ésima observação dentro do \(i\)-ésimo grupo, \(i=1, \ldots, k\) e \(j=1,\ldots,n\)

\(\bar{X}_i\): média amostral do \(i\)-ésimo grupo

\(\bar{X}\): média amostral considerando todas as observações como parte de um único grupo/população.

\(s_i\): desvio padrão amostral do \(i\)-ésimo grupo

A variação total das observações é chamada de Soma de Quadrados Total ou \(SQ_T\) e é calculada como o numerador da variância amostral se todas as observações fossem combinadas em um único grupo. Ou seja, \[SQ_T = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (X_{ij} - \bar{X})^2\]

Analiticamente pode-se mostrar que: \[\begin{aligned} SQ_T = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (X_{ij} - \bar{X})^2 &= n \sum_{i=1}^k (\bar{X_i} - \bar X)^2 + \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (X_{ij} - \bar{X}_i)^2 \\ &= SQ_G + SQ_E \end{aligned} \]

Veremos agora o que são \(SQ_G\) e \(SQ_E\).

A variação entre as médias dos grupos é chamada de Soma de Quadrados Entre Grupos ou \(SQ_G\) e é calculada da seguinte forma:

\[SQ_G = n \sum_{i=1}^k (\bar{X_i} - \bar X)^2 = n(\bar{X}_1 - \bar X)^2+ \ldots + n(\bar{X}_k - \bar X)^2\]

Veja que é a soma ponderada das diferenças entre as médias dos grupos \(\bar{X}_i\) e a média geral \(\bar X\) ao quadrado.

O numerador da estatística \(F\) é chamado de Quadrado Médio Entre Grupos ou \(QM_G\) e pode ser visto como sendo a variância amostral das médias dos grupos: \[QM_G = \frac{SQ_G}{k-1}\]

A variação das observações dentro dos grupos é chamada de Soma de Quadrados do Erro ou \(SQ_E\) e é calculada da seguinte forma: \[SQ_E = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (X_{ij} - \bar{X}_i)^2 = \sum_{i=1}^k (n-1) s^2_i\]

Ou seja, é a soma ponderada das variâncias amostrais para o \(i\)-ésimo grupo.

O denominador da estatística \(F\) é chamado de Quadrado Médio do Erro ou \(QM_E\) e é a estimativa da variância populacional para \(k\) grupos: \[QM_E = \frac{SQ_E}{k(n-1)} = \frac{(n-1) s^2_1 + \ldots + (n-1) s^2_k}{kn-k}\]

Resumindo, estamos interessados em testar as hipóteses: \[\begin{aligned} H_0: &\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k \\ H_a: & \mbox{pelo menos uma média é diferente das demais} \end{aligned} \]

A estatística do teste é dada por: \[F = \frac{QM_G}{QM_E} = \frac{\frac{SQ_G}{k-1}}{\frac{SQ_E}{k(n-1)}}\]

Sob a hipótese \(H_0\) de igualdade das médias, a estatística do teste segue uma distribuição \(F\) com \(k-1\) graus de liberdade no númerador e \(k(n-1)\) graus de liberdade no denominador. Ou seja, \[F \stackrel{H_0}{\sim} F_{k-1, k(n-1)}\]

Valor Crítico: Para um nível de significância \(\alpha\), encontrar o valor crítico \(F_{crit}\) na tabela \(F\) com \(k-1\) graus de liberdade no numerador e \(k(n-1)\) graus de liberdade no denominador tal que \(P(F_{k-1, k(n-1)} \geq F_{crit}) = \alpha.\)

Conclusão: Rejeitamos \(H_0\) se \(F_{obs} \geq F_{crit} = F_{k-1, k(n-1), \alpha}\)

Tudo o que discutimos até agora pode ser resumido na tabela abaixo. Essa tabela é chamada de Tabela ANOVA

Na prática, basta calcular \(SQ_T\) e \(SQ_G\) e obter a \(SQ_E\) por subtração: \[SQ_T = SQ_G + SQ_E \qquad \Longrightarrow \qquad SQ_E = SQ_T - SQ_G\]

Voltando no exemplo das notas da P1 para as turmas A, B, C e I. Selecionamos ao acaso 15 alunos de cada turma e anotamos sua respectiva nota na P1.

A tabela abaixo mostra as notas dos primeiros 5 alunos.

Existe diferença do desempenho na P1 entre as turmas?

Para \(\alpha=0.05\), olhando na tabela F com 3 e 56 graus de liberdadeo, o valor crítico é \(F_{crit} = F_{3, 56, 0.05} = 2.769\).

Conclusão: Para \(\alpha = 0.05\), como \(F_{obs}= 4.351 > 2.769 = F_{crit},\) rejeitamos a hipótese de que as médias da P1 para todas as turmas são iguais.

Uma nutricionista quer comparar a perda de peso para três tipos diferentes de dieta. Ela selecionou 12 de seus pacientes e escolheu 4 ao acaso para fazer cada uma das dietas. Depois de um período de três meses os pacientes foram pesados e a perda de peso (em Kg) foi a seguinte:

Para \(\alpha=0.05\), olhando na tabela F com 2 e 9 graus de liberdadeo, o valor crítico é \(F_{crit} = F_{2, 9, 0.05} = 4.256\).

Conclusão: Para \(\alpha = 0.05\), como \(F_{obs}= 18.444 > 4.256 = F_{crit},\) rejeitamos a hipótese de que as perdas de peso médias para todas as dietas são iguais.