Na última aula, trabalhamos com o conjunto de dados refere às notas do Moodle e da Prova P1 de 453 alunos matriculados em ME414 no 2S2015.

Hoje, focaremos nas observações referentes a 116 alunos que obtiveram, no máximo, 6.25 pontos nas atividades do Moodle.

Nosso objetivo é inferir a respeito da associação das notas (absolutas) das atividades disponibilizadas no Moodle com aquelas da Prova P1.

• Coeficiente de Correlação
  • Quantidade no intervalo \((-1, 1)\)
  • Mede a força da associação linear em função da dispersão dos dados

• Modelo de regressão linear simples
  • Estima a forma \(Y = \hat{\alpha} + \hat{\beta}X\);
  • O modelo é linear nos parâmetros

Denotamos a correlação por \(R\).

• \(R = -1\): associação linear negativa entre X e Y;
• \(R = 0\): ausência de associação linear entre X e Y;
• \(R = +1\): associação linear positiva entre X e Y;

Hipóteses:

• Duas variáveis contínuas: \(X\) e \(Y\);
• \(n\) pares de observações: (\(X_i, Y_i\));

\[\begin{aligned} R & = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2}} \\ & = \frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}^2 S_{YY}^2}} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}S_{YY}} \end{aligned}\]

Notem que \(S_{XX}^2\) e \(S_{YY}^2\) são as somas de quadrados de \(X\) e \(Y\) corrigida por suas respectivas médias.

No exemplo das notas da P1 e Moodle:

\[S_{XY} = 157.99, \qquad S_{XX} = 18.45, \qquad S_{XY} = 26.41\]

Portanto, \(R = 0.3243.\)

\[ \begin{aligned} R & = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2}} \\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \bar{X}}{s_X} \right) \left(\frac{Y_i - \bar{Y}}{s_Y} \right) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n z_{x_i} z_{y_i} \end{aligned} \]

Notem que \(s_X\) e \(s_Y\) representam os desvios padrão amostrais de \(X\) e \(Y\), respectivamente.

\[\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \bar{X}}{s_X} \right) \left(\frac{Y_i - \bar{Y}}{s_Y} \right) = 37.29 \qquad \mbox{e} \qquad n-1 = 115\]

Portanto, \(R = 0.3243.\)

\[\begin{aligned} R & = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2}} \\ & = \frac{1}{n-1} \frac{\sum_{i=1}^n X_i Y_i -n \bar{X}\bar{Y}}{s_X s_Y} \end{aligned}\]

Observem que \(\bar{X}\), \(\bar{Y}\), \(s_X\) e \(s_Y\) representam, respectivamente, as médias amostrais e desvios padrão amostrais de cada uma das variáveis.

\[\begin{aligned} \bar{X} = 4.14 \qquad \bar{Y} = 5.64 \qquad n-1 = 115 \qquad \frac{\sum_{i=1}^n X_i Y_i -n \bar{X}\bar{Y}}{s_X s_Y} = 37.29 \end{aligned}\]

Portanto, \(R = 0.3243\).

Um modelo de regressão possui, pelo menos, duas variáveis:

• \(X\): variável independente, variável exploratória, variável preditora, covariável.
• \(Y\): variável dependente, variável resposta.

Para alunos com notas de atividades de no máximo 6.25, como as notas das atividades se associam com a nota da prova P1?

• Variável dependente (resposta) \(Y\): nota da prova P1
• Variável independente \(X\): nota das atividades do Moodle

O modelo de regressão usual descreve associação linear entre \(Y\) e \(X\) da seguinte forma: \[Y= \alpha + \beta X + \varepsilon.\]

Neste modelo, os termos adicionais são:

• \(\alpha\): intercepto
• \(\beta\): coeficiente angular
• \(\varepsilon\): erro observacional

Considerar o erro é necessário, pois associações perfeitas são improváveis.

• Utilizar diagramas de dispersão;
• Analisar visualmente a forma de associação entre X e Y;
• Buscar associação linear;
• Aferir a homogeneidade da variância;
• Buscar informação sobre independência das observações.

Um modo de determinar a melhor reta é escolhendo os parâmetros de forma que a distância entre os pontos e a reta seja mínimo, ou seja, pelo método conhecido como mínimos quadrados:

• Determinar a função a ser minimizada;
• Determinar a primeira derivada com respeito aos parâmetros de interesse;
• Igualar estas derivadas a zero;
• Verificar segundas derivadas.

\[Y_i = \alpha + \beta X_i + \varepsilon_i\]

A função a ser minimizada é a soma de quadrados dos erros: \[f(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2 = \sum_{i=1}^n (Y_i - \alpha - \beta X_i)^2\]

Tomando as derivadas em relação a \(\alpha\) e \(\beta\) e igualando-as a zero temos: \[\frac{\partial f(\alpha, \beta)}{\partial \alpha} = -2 \sum_{i=1}^n (Y_i - \alpha - \beta X_i) \qquad \frac{\partial f(\alpha, \beta)}{\partial \beta} = -2 \sum_{i=1}^n X_i (Y_i - \alpha - \beta X_i)\] \[\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X} \qquad \mbox{e} \qquad \hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}\]

Para esses dados, calculou-se:

\[\bar X = 4.14, \qquad \bar Y = 5.64, \qquad S_{XY} = 157.99 \qquad \mbox{e} \qquad S_{XX} = 340.33. \]

Então, as estimativas dos coeficientes são: \[\begin{aligned} \hat{\beta} & = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{157.99}{340.33} = 0.46 \\ \hat{\alpha} & = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X} \\ &= 5.64 - 0.46 \times 4.14 = 3.72 \end{aligned}\]

E a equação da reta estimada é dada por: \[\mbox{P1} = 3.72 + 0.46 \times \mbox{Moodle}.\]

\[\mbox{P1} = 3.72 + 0.46 \times \mbox{Moodle}\]

\(\hat{\alpha} = 3.72\) é a nota média na P1 para alunos com nota 0 no Moodle (intercepto).

\(\hat{\beta} = 0.46\) é o aumento médio na nota da P1 para cada ponto extra no Moodle (coeficiente angular).

• Correlação e regressão apresentam associação!
• Associação não indica causalidade!!!
• Extrapolações não devem ser feitas.

A correlação entre estas duas variáveis (número de divórcios e consumo de margarina) é 0.9926.

Considere o número de divórcios como variável resposta e o consumo de margarina como variável independente.

Temos o seguinte modelo de regressão linear:

Ou seja, \[\mbox{divórcios} = 3.30 + 0.20 \times \mbox{margarina}\]

Qual o consumo esperado de margarina em 2016?

Extrapolações não devem ser feitas!!!