Muitas vezes, a informação da amostra coletada tem a estrutura de dados categorizados, ou seja, cada membro da população pode assumir um entre \(k\) valores de uma ou mais características estudadas.

Alguns exemplos de características:

• Cores possíveis para o modelo de um carro;
• Genótipo de um paciente;
• Tipo de gripe: gripe comum ou H1N1;
• Descendência de uma pessoa;
• Grau de satisfação;
• Cor dos olhos: verdes, azuis, castanhos ou pretos.

Dessa forma, o conjunto de dados consiste em frequências de contagens para essas categorias.

Por exemplo, cor dos olhos de 100 alunos:

Esse tipo de dados ocorre com frequência nas áreas sociais e biomédicas.

O objetivo aqui é estudar dados agrupados em categorias múltiplas e veremos isso através de dois tipos de testes:

• Teste de Aderência (ou Bondade de Ajuste)
  
• Teste de Independência

Teste de Aderência: considere uma população na qual cada membro assume qualquer um de \(k\) possíveis valores. Iremos verificar quão adequado uma amostra obtida dessa população se ajusta a um modelo de probabilidade proposto.

Teste de Independência: considere uma população na qual cada membro é classificado de acordo com duas características distintas. Com os dados de uma amostra dessa população, iremos verificar se essas duas características podem ser consideradas independentes.

Duas características serão independentes se a classificação de um membro da população de acordo com uma característica não interfere na probabilidade de classificação em relação à segunda característica desse mesmo membro.

Na aula de hoje iremos focar em Testes de Aderência.

Uma conhecida marca de chocolate é vendida em pacotinhos contendo em seis cores diferentes: laranja, vermelho, amarelo, verde, azul e marrom.

Suponha que você esteja curioso sobre a distribuição das cores dos M&M’s no pacote e pergunta: todas as cores aparecem na mesma proporção?

Esse é o tipo de pergunta que pode ser respondida com um teste de aderência!

Suponha que nós temos uma amostra aleatória de 600 M&M’s e as frequências de cada cor estão na tabela abaixo:

Nosso interesse é testar a hipótese de que as seis cores são igualmente prováveis.

Nesse caso, que modelo de probabilidade representaria a distribuição das cores?

Para acomodar dados como nos exemplos anteriores, precisamos estender o modelo Bernoulli de forma que os resultados possam ser classificados em mais de duas categorias. Esse modelo é chamado de distribuição multinomial.

Modelo Multinomial

1. O resultado de cada amostra pode ser classificado em uma de \(k\) respostas denotadas por \(1, 2,\ldots, k\).

2. A probabilidade da amostra assumir o valor \(i\) é \(p_{i}\), \(i=1, 2, \ldots,k\), com \[\sum_{i=1}^{k}p_{i}=1\]

3. As observações são independentes.

Considere uma amostra de uma população que consiste de elementos em diversas categorias, por exemplo, \(k\) valores possíveis.

Denotaremos por \(n_1, n_2, \ldots , n_k\), com \(\sum_{i=1}^{k}n_{i}=n\) as frequências e \(p_1, p_2, \ldots , p_k\) as probabilidades.

A distribuição conjunta de \(n_1, n_2, \ldots , n_k\) é chamada de distribuição multinomial e tem função de probabilidade dada por:

\[f(n_1, n_2, \ldots , n_k)=\frac{n!}{n_1! \ldots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}\]

em que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{k}n_{i}=n\) e com \(\displaystyle \sum_{i=1}^{k}p_{i}=1\).

Se designarmos a componente \(n_1\) como “sucesso” e juntarmos as demais numa mesma que designamos “fracasso”, a variável aleatória \(n_1\) é o número de sucessos em \(n\) ensaios de Bernoulli, ou seja, \(n_1 \sim Bin(n,p_1)\).

Portanto: \(\qquad \mathbb E(n_1)=np_1 \qquad\) e \(\qquad Var(n_1)=np_1(1-p_1)\).

Analogamente aplicando o mesmo argumento a cada \(n_i\) temos: \[\mathbb E(n_i)=np_i \qquad \mbox{e} \qquad Var(n_i)=np_i(1-p_i)\]

Iremos usar o valor esperado de \(n_i\) nos testes que veremos a seguir.

Objetivo: Testar quão adequado é assumir um modelo probabilístico para descrever um determinado conjunto de dados.

Exemplo: Vocês já devem ter visto em alguma aula de Biologia o seguinte:

3 genótipos (categorias): AA, Aa e aa

Em uma certa população, 100 descendentes foram estudados, fornecendo a tabela a seguir:

Objetivo: Verificar se o modelo genético proposto (Equilíbrio de Hardy-Weinberg) é adequado para essa população.

Se o modelo teórico for adequado, a freqüência esperada de descendentes para o genótipo AA, dentre os 100 indivíduos, pode ser calculada por: \[100 \times P(AA) = 100 \times \frac{1}{4} = 25\]

Da mesma forma para o genótipo Aa: \[100 \times P(Aa) = 100 \times \frac{1}{2} = 50\]

E para o genótipo aa: \[100 \times P(aa) = 100 \times \frac{1}{4} = 25\]

Podemos expandir a tabela de frequências dada anteriormente com as frequências esperadas sob o modelo teórico:

Pergunta: Podemos afirmar que os valores observados estão suficientemente próximos dos valores esperados, de tal forma que o modelo genético teórico é adequado a esta população?

O procedimento que responde esse tipo de pergunta é chamado de teste de bondade de ajuste ou teste de aderência.

Considere uma tabela de freqüências, com \(k \geq 2\) categorias de resultados:

Sendo \(O_i\) o total de indivíduos observados na categoria \(i\), \(i=1,2, \ldots, k\).

Seja \(p_i\) a probabilidade associada à categoria \(i\), \(i=1,2, \ldots, k\).
O objetivo do teste de aderência é testar as hipóteses \[\begin{aligned} & H_0: p_1=p_{01}, \; \ldots, \; p_k= p_{0k} \\ & H_A: \mbox{existe pelo menos uma diferença} \end{aligned}\] sendo \(p_{0i}\) a probabilidade da categoria \(i\) sob o modelo teórico e \(\sum_{i=1}^k p_{0i} =1.\)

Se \(E_i\) é o total de indivíduos esperados na categoria \(i\), quando a hipótese nula \(H_0\) é verdadeira, então:

\[E_i = n\times p_{0i}, \quad i=1,2, \ldots, k.\]

Então, expandindo a tabela de freqüências original, temos

Para quantificar quão distante as frequências observadas estão das frequências esperadas, usamos a seguinte estatística:

Estatística do Teste: \[\chi^2=\sum_{i=1}^k \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} = \sum^{k}_{i=1}\frac{(n_i-np_{0i})^2}{np_{0i}}\]

Se \(H_0\) é verdadeira: \(\chi^2 \sim \chi^2_{k-1}\)

Em outras palavras, se \(H_0\) é verdadeira, a v.a. \(\chi^2\) segue uma distribuição aproximadamente Qui-quadrado com \(k-1\) graus de liberdade.

Condição: Este resultado é válido para \(n\) grande e para frequências esperadas maiores ou iguais a 5.

Calcular o valor-de-p ou encontrar o valor crítico.

Valor-de-p: \(P(\chi^2_{k-1} \geq \chi^2_{obs}),\) em que \(\chi^2_{obs}\) é o valor da estatística do teste calculada a partir dos dados.

Valor Crítico: Para um nível de significância \(\alpha\), encontrar o valor crítico \(\chi^2_{crit}\) na tabela Chi-quadrado tal que \(P(\chi^2_{k-1} \geq \chi^2_{crit}) = \alpha.\)

Conclusão: Rejeitamos \(H_0\) se
\[\mbox{valor-de-p} \leq \alpha \quad \mbox{ou} \quad \chi_{obs}^2 \geq \chi^2_{crit}\]

Voltando no exemplo da Genética

Hipóteses: \[\begin{aligned} & H_0: \; \mbox{o modelo proposto é adequado} \\ & H_A: \; \mbox{o modelo proposto não é adequado} \end{aligned}\]

De forma equivalente, podem ser escritas como: \[\begin{aligned} & H_0: \; p_1=1/4, \; p_2=1/2, \; p_3= 1/4 \\ & H_A: \; \mbox{ao menos umas das desigualdades não verifica} \end{aligned}\] sendo \(p_1=P(AA), p_2=P(Aa)\) e \(p_3=P(aa)\).

A tabela seguinte apresenta os valores observados e esperados (calculados anteriormente).

Estatística do Teste: \[\begin{aligned} \chi^2_{obs} = \sum_{i=1}^3 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} &= \frac{(26-25)^2}{25} + \frac{(45-50)^2}{50} + \frac{(29-25)^2}{25} \\ &= 0.04 + 0.5 + 0.64 = 1.18 \end{aligned}\]

Sob \(H_0\), a estatística \(\chi^2 \sim \chi^2_2\). Veja que os graus de liberdade é o número de categorias menos 1. Então o valor-de-p é dado por:

\[\mbox{valor-de-p} = P(\chi^2_2 \geq \chi^2_{obs}) = P(\chi^2_2 \geq 1.18) = 0.554\]

Para um nível de significância \(\alpha=0.05\), olhando na Tabela Qui-Quadrado, o valor crítico é: \(\chi^2_{crit} = 5.991\)

Conclusão: Para \(\alpha = 0.05\), como valor-de-p\(= 0.554 > 0.05\), não rejeitamos a hipótese \(H_0\), isto é, essa população segue o modelo genético proposto.

Ou como \(\chi^2_{obs}=1.18 < 5.991 = \chi^2_{crit},\) não rejeitamos a hipótese \(H_0\).

Voltando aos dados das cores dos M&M’s, cujas componentes têm frequências multinomiais, a hipótese nula especifica que as seis cores são igualmente prováveis. Ou seja,

\(\begin{aligned} & H_0: \; p_1 = p_2 = \ldots = p_6= 1/6 \\ & H_A: \; \mbox{existe pelo menos uma diferença} \end{aligned}\)

Como as probabilidades das cores na hipótese nula são todas iguais, as frequências esperadas também serão todas iguais, ou seja, \[E_i = n\times \frac{1}{6} = 600\times \frac{1}{6} = 100, \quad i=1,\ldots,6.\]

Você acha que as cores aparecem na mesma proporção?

Estatística do Teste: \[\begin{aligned} \chi^2 = \sum_{i=1}^6 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} &= 125.44 + 22.09 + 0.09 + 25 + 29.16 + 33.64 = 235.42 \end{aligned}\]

Olhando na tabela Qui-quadrado com 5 graus de liberdade, para \(\alpha=0.05\), o valor crítico é \(\chi^2_{crit} = \chi^2_{5, 0.05} = 11.07\).

Conclusão: Para \(\alpha = 0.05\), como \(\chi^2_{obs}= 235.42 > 11.07 = \chi^2_{crit},\) rejeitamos a hipótese de que as seis cores são igualmente prováveis.

Entre os americanos, 41% tem sangue do tipo A, 9% tem sangue tipo B, 4% tipo AB e 46% tem sangue tipo O.

Em uma amostra aleatória de 200 pacientes americanos com câncer de estômago, 92 pacientes têm sangue do tipo A, 20 do tipo B, 4 do tipo AB e 84 do tipo O.

Essas frequências observadas trazem evidência contra a hipótese de que a distribuição do tipo sanguíneo dos pacientes é igual à distribuição dos tipos sanguíneos na população geral americana? Use nível de significância \(\alpha=0.05\).

\[\begin{aligned} & H_0: \; p_1=0.41, p_2=0.09, p_3=0.04 , p_4=0.46 \\ & H_A: \; \mbox{existe pelo menos uma diferença} \end{aligned}\]

Estatística do Teste: \(\displaystyle \qquad \chi^2=\sum_{i=1}^4 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} = 4.14\)

Conclusão: Como \(\chi^2_{obs} = 4.14 \leq 7.815= \chi^2_{3, 0.05}\), não temos evidência para rejeitar a hipótese nula.

Portanto, concluímos que não há discrepância significativa entre o que foi observado e a distribuição sanguínea da população americana.

Mendel fez o cruzamento de 8023 ervilhas híbridas e o resultado foi 6022 ervilhas amarelas e 2001 ervilhas verdes.
Teoricamente, cada cruzamento deve resultar em ervilha amarela com probabilidade \(3/4\) e verde com probabilidade \(1/4\). \[\begin{aligned} & H_0: \; p_1=3/4 \; \mbox{ e } \; p_2=1/4 \\ & H_A: \; \mbox{existe pelo menos uma diferença} \end{aligned}\]

Estatística do Teste: \(\displaystyle \;\; \chi^2=\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} = 0.015\)

Conclusão: Como \(\chi^2_{obs} = 0.015 \leq 3.841= \chi^2_{1, 0.05}\), não temos evidência para rejeitar a hipótese nula. Concluímos que não há discrepância significativa entre o que foi observado e a hipótese nula.