População 1: Coletamos uma amostra aleatória \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) de uma população com média \(\mu_1\) e a variância \(\sigma_1^2\) e usamos \(\bar X\) para estimar \(\mu_1\).

População 2: Coletamos uma amostra aleatória \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_m\) de uma população com média \(\mu_2\) e a variância \(\sigma_2^2\) e usamos \(\bar Y\) para estimar \(\mu_2\).

A população 1 é independente da população 2.

Condições:

1. As populações 1 e 2 são aproximadamente normais ou

2. Os tamanhos amostrais \(n\) e \(m\) são suficientemente grandes.

Se pelo menos uma das condições acima é satisfeita, temos: \[\bar X \sim N\left(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n} \right) \quad \mbox{e} \quad \bar Y \sim N\left(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{m} \right)\]

Caso 1: Variâncias diferentes e conhecidas

Assumindo que as duas amostras \(X_1, \ldots, X_n\) e \(Y_1, \ldots, Y_m\) são independentes com \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\) conhecidas, temos:

\[\bar X - \bar Y \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m} \right)\]

Caso 1: Variâncias diferentes e conhecidas

Temos interesse em testar as hipóteses: \[\begin{aligned} H_0: \mu_1 - \mu_2 = \Delta_0 \qquad \mbox{vs} \qquad H_A: \mu_1 - \mu_2 & \neq \Delta_0 \mbox{ ou} \\ H_A: \mu_1 - \mu_2 &< \Delta_0 \mbox{ ou} \\ H_A: \mu_1-\mu_2 &> \Delta_0. \end{aligned}\]

E daí, sob \(H_0\), temos que: \[Z= \frac{(\bar X - \bar Y) - \overbrace{(\mu_1 - \mu_2)}^{\Delta_0}}{ \sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m}}} \sim N(0, 1)\]

Definidas as hipóteses, coletamos as informações das duas populações.

Para a população \(X\): uma amostra aleatória de tamanho \(n\) é coletada e calcula-se a média amostral \(\bar x\).

Para a população \(Y\): similarmente, uma amostra aleatória de tamanho \(m\) é coletada e calcula-se a média amostral \(\bar y\).

Calcula-se a estatística do teste:

\[Z= \frac{(\bar X - \bar Y) - \overbrace{(\mu_1 - \mu_2)}^{\Delta_0}}{ \sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m}}} \qquad \Longrightarrow \qquad z_{obs}= \frac{(\bar x - \bar y) - \Delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m}}}\]

O valor-de-p é calculado de acordo com a hipótese alternativa.

Se o teste é bilateral, ou seja, \[\begin{aligned} H_0: \mu_1 - \mu_2 & = \Delta_0 \\ H_A: \mu_1 - \mu_2 & \neq \Delta_0 \end{aligned}\]

Usando o valor observado da estatística do teste: \[\begin{aligned} \mbox{valor-p} &= P(|Z| \geq |z_{obs}|) \\ &= 2P(Z \leq -|z_{obs}|) \end{aligned}\]

Conclusão: Rejeita-se \(H_0\) se valor-p \(\leq \alpha\) ou, de forma equivalente, se \(z_{obs}\) cai na região crítica (área cinza do gráfico).

O valor-de-p é calculado de acordo com a hipótese alternativa.

Se o teste é unilateral à esquerda, ou seja, \[\begin{aligned} H_0: \mu_1 - \mu_2 & = \Delta_0 \\ H_A: \mu_1 - \mu_2 & < \Delta_0 \end{aligned}\]

Usando o valor observado da estatística do teste: \[\mbox{valor-p} = P(Z \leq z_{obs})\]

Conclusão: Rejeita-se \(H_0\) se valor-p \(\leq \alpha\) ou, de forma equivalente, se \(z_{obs}\) cai na região crítica (área cinza à esquerda do gráfico).

O valor-de-p é calculado de acordo com a hipótese alternativa.

Se o teste é unilateral à direita, ou seja, \[\begin{aligned} H_0: \mu_1 - \mu_2 & = \Delta_0 \\ H_A: \mu_1 - \mu_2 & > \Delta_0 \end{aligned}\]

Usando o valor observado da estatística do teste: \[\mbox{valor-p} = P(Z \geq z_{obs})\]

Conclusão: Rejeita-se \(H_0\) se valor-p \(\leq \alpha\) ou, de forma equivalente, se \(z_{obs}\) cai na região crítica (área cinza à direita do gráfico).

Caso 2: Variâncias iguais e conhecidas

\[ \bar X - \bar Y \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma^{2}}{n} + \frac{\sigma^{2}}{m} \right)\]

As hipóteses são as mesmas que as testadas no caso 1.

E daí, sob \(H_0\), temos que: \[Z= \frac{(\bar X - \bar Y) - \overbrace{(\mu_1 - \mu_2)}^{\Delta_0}}{\sqrt{\sigma^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)}} \sim N(0, 1)\]

Caso 3: Variâncias iguais e desconhecidas

Assim como no caso de uma média com variância desconhecida, usamos uma estimativa de \(\sigma^2\) e a distribuição normal é substituída pela distribuição \(t\).

No caso de duas populações, o estimador da variância \(\sigma^2\) é a combinação das variâncias amostrais de cada população, ou seja, \[S_p^2 = \frac{(n-1)S_1^2 + (m-1)S_2^2}{n+m-2},\] sendo \(S_i^2\) é a variância amostral da população \(i\).

As variâncias são iguais \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\).

Quando \(\sigma^2\) é conhecida: \[Z = \frac{\bar X - \bar Y - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\sigma^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)}} \sim N(0,1)\]

Quando \(\sigma^2\) é desconhecida: \[T = \frac{\bar X - \bar Y - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)}} \sim t_{n+m-2}\]

Temos interesse em testar: \(H_0: \mu_1 - \mu_2 = \Delta_0 \quad \mbox{vs} \quad H_A: \mu_1 - \mu_2 \neq \Delta_0 \quad (\mbox{ou hipóteses unilaterais})\)

E daí, sob \(H_0\), temos que: \[T= \frac{(\bar X - \bar Y) - \overbrace{(\mu_1 - \mu_2)}^{\Delta_0}}{ \sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) }} \sim t_{n+m-2}.\]

Observação: Se \(n\) e \(m\) são pequenos, as duas amostras devem vir de populações aproximadamente normais. Se \(n\) e \(m\) são grandes, então a distribuição \(t\) com \(n + m - 2\) graus de liberdade aproxima-se de uma normal.

Esse teste é conhecido como teste t para amostras independentes.

O tempo de incubação do vírus 1 segue uma distribuição normal com média \(\mu_1\) e desvio padrão \(\sigma_{1}=\sqrt{2}\).

Por outro lado, o tempo de incubação do vírus 2 segue uma distribuição normal com média \(\mu_2\) e desvio padrão \(\sigma_{2}=1\).

Os tempos de incubação de ambos os vírus são considerados independentes.

Afirma-se que em média, o tempo de incubação do vírus 1 é 3 meses depois do tempo médio de incubação do vírus 2.

Realizaram um estudo de controle e os tempos de incubação registrados foram (tempo em meses):

X: tempo de incubação do vírus 1 (20 observações)

##  [1] 4.56 3.72 3.45 2.86 4.03 4.08 6.56 4.31 0.42 5.56 5.92 2.65 4.54 4.04 4.23
## [16] 6.24 6.16 5.46 3.22 2.28

Y: tempo de incubação do vírus 2 (22 observações)

##  [1] 2.44 1.49 2.68 2.60 1.51 1.60 1.47 3.70 2.22 1.78 2.36 1.56 2.98 3.33 2.22
## [16] 0.58 2.26 2.26 1.92 0.50 1.17 1.70

Recentemente, pacientes contaminados com os vírus foram avaliados e suspeita-se que talvez o tempo de incubação do vírus 1 não seja 3 meses depois do tempo médio de incubação do vírus 2.

Definindo as hipóteses as serem testadas:

\(H_0: \mu_{1}-\mu_{2} = 3 \qquad \mbox{vs} \qquad H_A: \mu_{1}-\mu_{2} \neq 3\)

Os dados coletados serão usados para avaliar se temos ou não evidências contra \(H_0\).

Vamos calcular a média amostral das duas populações: \(\bar x=4.21\) e \(\bar y = 2.02\).

Pelo enunciado, as duas populações são normais e as variâncias são conhecidas: \(\sigma_1^2 = 2\) e \(\sigma_2^2= 1\). Veja que as populações são normais, variâncias diferentes mas conhecidas. Além disso, \(n=20\) e \(m=22\).

Cálculo da estatística do teste:

\[z_{obs} = \frac{(\bar x - \bar y) - \Delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{m}}} = \frac{(4.21 - 2.02) - 3}{\sqrt{\frac{2}{20} + \frac{1}{22}}} = -2.12 \]

Como é um teste bilateral, o valor de p é dado por: \[\mbox{valor-p} = P(|Z| \geq |z_{obs}|) = P(|Z| \geq 2.12) = 2 P(Z \leq - 2.12) = 0.034\]

Para um nível de significância \(\alpha=0.01\): Como p-valor = 0.034 \(> \alpha=0.01\), não temos evidência para rejeitar \(H_{0}: \mu_1 = 3 + \mu_2\).

Valor crítico para \(\alpha=0.01\): \(z_{0.005} = 2.58\), ou seja, rejeita-se \(H_0\) se \(z_{obs} \geq 2.58\) ou \(z_{obs} \leq -2.58\).

Dois tipos diferentes de tecido devem ser comparados. Uma máquina de testes Martindale pode comparar duas amostras ao mesmo tempo. O peso (em miligramas) para sete experimentos foram:

Construa um teste de hipótese com nível de significância 5% para testar a hipótese nula de igualdade entre os pesos médios dos tecidos. Admita que a variância é a mesma, e igual a 49.

Quais outras suposições são necessárias para que o teste seja válido?

Adaptado de: Profa. Nancy Garcia, Notas de aula.

Os tecidos do tipo A tem uma média amostral igual a \(\bar x_A=30.86\). Já os tecidos do tipo B têm média amostral de \(\bar x_B=33.57\).

A variância populacional é igual a 49, enquanto as variâncias amostrais são 44.14 e 52.62, respectivamente.

Suposições: Como os tamanhos amostrais \(n=m=7\) são pequenos, devemos assumir os pesos dos tecidos dos dois tipos são normalmente distribuídos ou seja, \(X_A \sim N(\mu_A, \sigma^2)\) e \(X_B \sim N(\mu_B, \sigma^2)\). Além disso são independentes e com variâncias iguais.

Assumimos que as variâncias são iguais e conhecidas (\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=49\)). Além disso, \(n=7\) e \(m=7\).

Definindo as hipóteses a serem testadas: \(H_0: \mu_A - \mu_B = 0 \qquad \mbox{vs} \qquad H_A: \mu_A - \mu_B \neq 0\)

Como a variância é conhecida, a estatística do teste é dada por \[Z = \frac{(\bar X_A - \bar X_B) - \Delta_0}{\sqrt{\sigma^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)}}\]

Se a hipótese nula é verdadeira, temos que \(\Delta_0 = \mu_A - \mu_B = 0\) e \(Z \sim N \left(0, 1 \right)\). Note que a hipótese alternativa é do tipo \(\neq\), então o teste é bilateral.

Cálculo da estatística do teste: \[z_obs = \frac{(\bar x_A - \bar x_B) - \Delta_0}{\sqrt{\sigma^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)}} = \frac{(30.86 - 33.57) - 0}{\sqrt{49 \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{7} \right)}} = -0.72\]

Como é um teste bilateral, o valor de p é dado por: \[\mbox{valor-p} = P(|Z| \geq |z_{obs}|) = P(|Z| \geq 0.72) = 2 P(Z \leq - 0.72) = 0.4716\]

Para um nível de significância \(\alpha=0.05\): Como p-valor = \(0.4716 > \alpha=0.05\), não temos evidência para rejeitar \(H_{0}: \mu_A = \mu_B\).

Valor crítico para \(\alpha=0.05\): \(z_{0.025} = 1.96\), ou seja, rejeita-se \(H_0\) se \(|z_{obs}|\geq 1.96\).

Vamos assumir agora que a variância populacional não fosse conhecida.

Assumindo ainda que as variâncias são iguais mas desconhecidas, vamos então estimar a variância amostral combinada.

Sabendo que \(s_1^2=44.14\), \(s_2^2=52.62\) e \(n=m=7\) temos: \[\begin{aligned} s_p^2 &= \frac{(n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2}{n+m-2}\\ &= \frac{(7-1) 44.14 + (7-1)52.62}{7 + 7 - 2} \\ &= 48.38 \end{aligned}\]

Nesse caso, a estatística do teste, sob \(H_0\), é dada por: \[T = \frac{\bar X_A - \bar X_B}{\sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)}}\sim t_{n+m-2}\]

Então, \[t_{obs} = \frac{\bar x_A - \bar x_B}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)}} = \frac{30.86-33.57}{\sqrt{48.38 \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \right)}} = -0.73\]

Para um nível de significância \(\alpha = 0.05\), rejeitamos \(H_0\) se \(|t_{obs}| \geq t_{n+m-2,0.025}\).

No caso, \(|t_{obs}| = 0.73 < 2.18 = t_{12,0.025}\). Portanto, não temos evidências para rejeitar a hipótese de que as médias dos dois tecidos são iguais.

Considere \(X_1, \ldots,X_{n_1}\) e \(Y_1, \ldots,Y_{n_2}\) duas amostras independentes de ensaios de Bernoulli tal que \(X \sim b(p_1)\) e \(Y \sim b(p_2)\), com probabilidade \(p_1\) e \(p_2\) de apresentarem uma certa característica.

Temos interesse em testar as hipóteses: \[\begin{aligned} H_0: p_1 - p_2 = 0 \qquad \mbox{vs} \qquad H_A: p_1 - p_2 & \neq 0 \mbox{ ou} \\ H_A: p_1 - p_2 &< 0 \mbox{ ou} \\ H_A: p_1 - p_2 &> 0 \end{aligned}\]

Em aulas anteriores vimos que: \[\hat p_1 \sim N\left(p_1, \frac{p_1(1-p_1)}{n_1} \right) \quad \mbox{e} \quad \hat p_2 \sim N\left(p_2, \frac{p_2(1-p_2)}{n_2} \right)\]

Como as variâncias de \(\hat p_1\) e \(\hat p_2\) dependem de \(p_1\) e \(p_2\) e, portanto, não são conhecidas, iremos usar uma estimativa dessas variâncias.

Sob \(H_0\), \(p_1 = p_2 = p\), portanto: \[\hat p_1 \sim N\left(p_1, \frac{p(1-p)}{n_1} \right) \quad \mbox{e} \quad \hat p_2 \sim N\left(p_2,\frac{p(1-p)}{n_2} \right)\]

No entanto, \(p\) é desconhecido.

Iremos utilizar como estimativa para \(p\), a proporção de sucessos na amostra toda (\(\widehat p\)), sem levar em consideração as populações, ou seja,

\[\widehat p = \frac{n_1 \widehat p_1 + n_2 \widehat p_2}{n_1 + n_2}.\]

Então, para \(H_0: p_1 = p_2\) usamos a estatística do teste a seguir: \[Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p}) \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \sim N(0, 1)\]

em que \(\hat p\) é a proporção de sucessos entre os \(n_1 + n_2\) elementos amostrados.

Condições: Todas as quantidades \(n_1\hat p_1, \; n_1(1- \hat p_1), \; n_2\hat p_2 \; \mbox{ e } \; n_2(1- \hat p_2)\) devem ser pelo menos igual a 10 para que a aproximação pela normal seja válida.

O dinheiro que não é gasto hoje pode ser gasto depois.

Será que ao relembrar o aluno deste fato faz com que tome a decisão sobre uma compra de maneira diferente?

O cético pode pensar que relembrar não irá influenciar na decisão.

Podemos utilizar um teste de hipótese:

• \(H_0\): Relembrar o aluno de que ele pode poupar para comprar algo especial depois não irá influenciar na decisão de gasto do aluno.

• \(H_A\): Relembrar o aluno de que ele pode poupar para comprar algo especial depois irá aumentar a chance dele não gastar em algo no presente.

Entre os alunos do Grupo 1, a proporção que decide não comprar foi \[\widehat p_1 = 25/56 = 0.45\]

Entre os alunos do Grupo 2, a proporção que decide não comprar foi \[\widehat p_2 = 25/54 = 0.46\]

Temos evidências contra a hipótese nula, ou seja, relembrar o aluno não influencia na decisão?

Para realizar o teste de hipótese, devemos fazer algumas suposições.

Considere duas populações, \(X\) e \(Y\), tal que:

• \(X_i\sim b(p_1)\) indica se o i-ésimo aluno do Grupo 1 decide não comprar o DVD e \(p_1\) é a probabilidade de decidir por não comprar.

• \(Y_i\sim b(p_2)\) indica se o i-ésimo aluno do Grupo 2 decide não comprar o DVD e \(p_2\) é a probabilidade de decidir por não comprar.

Queremos testar: \[H_0: p_1 = p_2 \qquad \mbox{vs} \qquad H_A: p_1 < p_2\]

\[\begin{cases} H_0: p_1=p_2 \\ H_A: p_1 < p_2 \end{cases} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{cases} H_0: p_1 - p_2 = 0 \\ H_A: p_1 - p_2 < 0 \end{cases} \]

Calculando a estatística do teste: \[Z = \frac{\hat p_1 - \hat p_2}{\sqrt{\hat p(1 - \hat p) \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} = \frac{0.45-0.46}{\sqrt{(0.45)(0.55) \left( \frac{1}{56} + \frac{1}{54} \right)}} = -0.11 = z_{obs}\]

Para um nível de significância \(\alpha = 0.05\), rejeitamos \(H_0\) se \(z_{obs} \leq -z_{0.05}\).
No caso, \(z_{obs} = -0.11 > -1.64 = -z_{0.05}\). Portanto, não temos evidências para rejeitar a hipótese de que as duas proporções são iguais.

valor de p = \(P(Z \leq z_{obs}) = P(Z \leq -0.11) = 0.4562 > \alpha\). Portanto, não rejeitamos \(H_0\).