R. A. Fisher foi um dos fundadores da Estatística moderna.

Em um de seus famosos experimentos, ele testou a capacidade de uma senhora em distinguir se a xícara estava servida com o leite colocado antes ou depois do chá.

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Como planejar um experimento para testar a capacidade da pessoa distinguir se o chá foi preparado com leite primeiro ou por último?

• Como lidar com variações na temperatura do chá, quantidade de açúcar, entre outras?

• Quantas xícaras devem ser usadas no teste? Qual a ordem de apresentação dessas xícaras?

• Qual conclusão iremos tirar caso a pessoa erre somente uma vez? Ou duas vezes?

• 12 xícaras: 6 com chá colocado antes do leite e 6 com leite antes do chá.

• As 12 xícaras foram apresentadas em ordem aleatória para a senhora, mas a informação de que eram 6 de cada tipo foi passada a ela.

• A senhora deveria provar a bebida das 12 xícaras e escolher as 6 xícaras que acreditava estar com chá primeiro.

• Verificou-se quantas dentre as 6 xícaras ela escolheu corretamente.

• Quais os resultados possíveis do experimento?

• Tarefa da senhora: escolher as 6 xícaras com chá primeiro.

• São 12 xícaras: 6 com leite primeiro e 6 com chá primeiro.

• A senhora escolhe 6 dentre 12, sem reposição.

• De quantas formas ela pode fazer isso, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{12}{6}=924\]

• É possível que ela escolha as 6 corretamente: 6 com chá primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 6 corretas?

• Para escolher 6 corretas, duas coisas devem ocorrer: escolher 6 com chá primeiro (dentre 6 com chá primeiro) e não escolher nenhuma dentre as 6 com leite primeiro.

• De quantas formas é possível fazer isso, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{6}{6}\binom{6}{0}=1\]

• É possível que ela escolha 5 corretamente: 5 com chá primeiro e 1 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 5 corretas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{6}{5}\binom{6}{1}=36\]

• É possível que ela escolha 4 corretamente: 4 com chá primeiro e 2 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 4 corretas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{6}{4}\binom{6}{2}=225\]

• É possível que ela escolha 3 corretamente: 3 com chá primeiro e 3 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 3 corretas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{6}{3}\binom{6}{3}=400\]

• É possível que ela escolha 2 corretamente: 2 com chá primeiro e 4 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 3 corretas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{6}{2}\binom{6}{4}=225\]

• É possível que ela escolha 1 corretamente: 1 com chá primeiro e 5 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 1 correta, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{6}{1}\binom{6}{5}=36\]

• É possível que ela erre todas: 0 com chá primeiro e 6 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode errar todas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{6}{0}\binom{6}{6}=1\]

• \(H_0\): A senhora não consegue distinguir entre chá ou leite primeiro e escolhe ao acaso durante o experimento.

• \(H_a\): A senhora consegue distinguir.

• Estatística do teste: Total de acertos (\(X\))

• Para decidir, precisamos primeiramente da distribuição de probabilidade da estatística do teste quando \(H_0\) é verdadeira.

• População dividida em duas características

• Extrações casuais sem reposição

• \(N\) objetos

• \(r\) têm a característica A

• \(N-r\) têm a característica B

• um grupo de \(n\) elementos é escolhido ao acaso, dentre os \(N\) possíveis, sem reposição.

Queremos calcular a probabilidade de que este grupo de \(n\) elementos contenha \(x\) elementos com a característica A.

Como decidir se rejeitamos ou não \(H_0\) de acordo com a estatística do teste observada?

Como decidir se rejeitamos a hipótese de que a senhora não consegue distinguir os chás, sendo que ela acertou, por exemplo, 4? Se ela tivesse acertado todas as 6 xícaras? Seria por pura sorte? Ou ela tem algum conhecimento?

Calculamos a probabilidade, sob \(H_0\), de um valor igual ou mais extremo ao da estatística do teste observada (valor-de-p). Mais extremo: mais evidência contra \(H_0\).

Se o valor-de-p obtido é bem pequeno, por exemplo, 0.05, isto quer dizer que se \(H_0\) é verdadeira, então seria incomum obter uma amostra com os resultados como o observado.

Um valor-de-p muito baixo traz fortes evidências contra \(H_0\).

Se a senhora acertou 5 xícaras:

\[P(X=5) = \frac{\binom{6}{5}\binom{6}{1}}{\binom{12}{6}}=3/77 \]

Calculamos a probabilidade de um valor igual ou mais extremo ao da estatística do teste observada (valor-de-p). Mais extremo: mais evidência contra \(H_0\).

Se a senhora tivesse acertado 6, seria ainda mais evidência contra \(H_0\), de forma que o valor de p é calculado como:

\[P(X=5)+P(X=6)=3/77 + 1/924 = 37/924\]

Se este valor for considerado baixo, temos evidências, baseando-se no experimento realizado, para rejeitar \(H_0\).