• Vimos que podemos utilizar uma estatística, como \(\bar{X}\) (\(\hat{p}\)), para estimar um parâmetro populacional, como a média populacional \(\mu\) (proporção populacional \(p\)).

• Após coletarmos uma amostra aleatória calculamos \(\bar{x}\), que é a nossa estimativa para \(\mu\). Chamamos esta estimativa de estimativa pontual.

• Uma estimativa pontual fornece apenas um único valor plausível para o parâmetro. E sabemos que ela pode ser diferente para cada amostra obtida: distribuição amostral.

• O ideal é que se reporte não só a estimativa, mas também a sua imprecisão.

• Duas maneiras: fornecer a estimativa juntamente com o seu erro padrão ou fornecer um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro de interesse (intervalo de confiança).

Suponha que queremos estimar o parâmetro populacional \(\theta\) através de um intervalo.

Um intervalo de confiança (IC) para \(\theta\) é sempre da forma:

\[ \mbox{estimativa} \pm \mbox{margem de erro}\]

\[\widehat \theta \pm \mbox{margem de erro}\]

Sendo:

• \(\widehat \theta\) uma estimativa pontual de \(\theta\)

• margem de erro: quantidade que depende da distribuição amostral do estimador pontual de \(\theta\), do grau de confiança pré-estabelecido e do erro padrão da estimativa

Temos uma população com proporção \(p\) e variância \(p(1-p)\) desconhecidos.

Retira-se uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula-se a proporção amostral \(\hat{p}\) para estimar o parâmetro populacional desconhecido \(p\).

Temos as propriedades:

\[E(\hat{p})=p\quad \quad Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\quad\quad EP(\hat{p})=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Pelo Teorema do Limite Central: a distribuição amostral de \(\hat{p}\) aproxima-se da seguinte distribuição Normal quando \(n\) for suficientemente grande:

\[\hat{p}\sim\mathcal{N}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\]

Qual a probabilidade de que o estimador \(\hat{p}\) esteja distante do valor verdadeiro, \(p,\) em no máximo 1 erro-padrão?

\[P\left(\mid \hat{p} - p \mid \leq \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)\]

\[ \begin{aligned} P\left(\mid \hat{p} - p \mid \leq \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)&= P\left( -\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leq \hat{p}-p \leq \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right)\\ & = P\left(-1\leq \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \leq 1\right) \\ & = P(-1\leq Z\leq 1)\\ & = 0.68 \end{aligned} \]

Intervalo de confiança de \(95\%\)

\(IC(p, 95\%) = \left[\widehat p -1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};\widehat p +1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]\)

Intervalo de confiança de \(90\%\)

\(IC(p, 90\%) = \left[\widehat p -1.64\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};\widehat p +1.64\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]\)

Intervalo de confiança de \(99\%\)

\(IC(p, 99\%) = \left[\widehat p -2.58\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};\widehat p +2.58\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]\)

Qual o problema?

Sabemos \(p(1-p)\)?

Vimos que \(p(1-p)\leq \frac{1}{4}\), então erro padrão é maximizado por:

\[\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leq \sqrt{\frac{1}{4n}} \quad \Longleftrightarrow \quad -\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\geq -\sqrt{\frac{1}{4n}}\]

Portanto, \(IC(p, 95\%) = \left[\widehat p -1.96\sqrt{\frac{1}{4n}};\widehat p +1.96\sqrt{\frac{1}{4n}}\right]\) .

Caso geral (conservador): Um IC de \(100(1-\alpha)\%\) para \(p\) é dado por

em que \(z_{\alpha/2}\) é tal que:

\[P(-z_{\alpha/2}<Z<z_{\alpha/2})=1-\alpha\]

Seja \(Z\sim N(0,1)\). O percentil \(z_{\alpha/2}\) é tal que \(1-\alpha = P\left(-z_{\alpha/2}\leq Z\leq z_{\alpha/2}\right)\)

Como determinar \(z_{\alpha/2}\)?

\[ \begin{aligned} 1-\alpha = P\left(-z_{\alpha/2}\leq Z\leq z_{\alpha/2}\right) & = P(Z \leq z_{\alpha/2}) - P(Z \leq -z_{\alpha/2}) \\ & = P(Z \leq z_{\alpha/2}) - P(Z \geq z_{\alpha/2}) \\ & = P(Z \leq z_{\alpha/2}) - \left[1-P(Z \leq z_{\alpha/2})\right] \\ & = 2P(Z \leq z_{\alpha/2}) - 1 \\ & = 2 \Phi(z_{\alpha/2}) - 1 \end{aligned} \]

Portanto, \(1-\frac{\alpha}{2} = \Phi(z_{\alpha/2}) \quad \Rightarrow \quad \Phi^{-1}\left(1- \frac{\alpha}{2}\right) = z_{\alpha/2}\)

Procure na tabela o valor de \(z\) tal que a probabilidade acumulada até o valor de \(z\), isto é \(P(Z\leq z)=\Phi(z)\), seja \(1-\alpha/2\).

Encontrar \(z_{0.05}\) tal que \(0.90 = P\left(-z_{0.05}\leq Z\leq z_{0.05}\right)\).

Pela tabela, \(z_{0.05} = 1.64.\)

Numa pesquisa de mercado, \(n=400\) pessoas foram entrevistadas (usando amostra aleatória) sobre preferência do produto da marca A, e \(60\%\) destas pessoas preferiam a marca A.

Encontre um \(IC\) de \(95\%\) para a proporção de pessoas que preferem a marca A.

Pelo resultado da pesquisa, \(\widehat p = 0.6\).

Logo, o \(IC\) com grau de confiança \(1 - \alpha=0.95\) é dado por:

\[\begin{aligned} IC(p, 0.95) &= \left[0.6 - 1.96\frac{1}{\sqrt{1600}}; 0.6 + 1.96\frac{1}{\sqrt{1600}}\right] \\ &=[0.6 - 0.049; 0.6 + 0.049] \\ &=\left[0.551;0.649\right] \end{aligned} \]

Suponha que em \(n=400\) entrevistados, tivéssemos obtido \(k=80\) respostas de pessoas que preferem a marca A.

Vamos obter um intervalo de confiança para \(p\), com grau de confiança de \(90\%\):

• \(\widehat p =\frac{80}{400}=0.2\)

• \(1-\alpha=0.90\). Então \(\alpha/2=0.05 \quad \rightarrow \quad z_{\alpha/2}=z_{0.05}=1.64\)

\[ \begin{aligned} IC_1(p, 0.90) &= \left[0.2 - 1.64\frac{1}{\sqrt{1600}};0.2 + 1.64\frac{1}{\sqrt{1600}}\right] \\ &=[0.2 - 0.041; 0.2 + 0.041] \\ &=[0.159; 0.241] \end{aligned} \]

E se usarmos a estimativa \(\widehat p\) para também estimar o erro padrão \(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)?

Podemos construir o seguinte \(IC\) de \(100(1-\alpha)\%\)

\[IC(p, 1-\alpha)= \left[\widehat p -z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}};\widehat p +z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}}\right]\]

Para os dados do exemplo anterior,

\[ \begin{aligned} IC_2(p, 0.90) &= \left[0.2 - 1.64\sqrt{\frac{(0.2)(0.8)}{400}}; 0.2 + 1.64 \sqrt{\frac{(0.2)(0.8)}{400}} \right] \\ &= [0.2 - 0.033; 0.2 + 0.033] \\ &= [0.167; 0.233] \end{aligned} \]

O intervalo que utiliza \(\widehat p\) também para estimar o erro padrão tem menor margem de erro e, portanto, menor amplitude do que o intervalo que utiliza o fato de \(p(1-p) \leq \frac{1}{4}\). Por isso esse último é chamado de conservador.

Veja as amplitudes dos \(IC\)’s que encontramos no exemplo anterior:

• \(IC_1(p, 0.90) = [0.159;0.241] \quad \Rightarrow \quad A_1=0.241-0.159=0.082\)

• \(IC_2(p, 0.90) = [0.167;0.233] \quad \Rightarrow \quad A_2=0.233-0.167=0.066\)

A amplitude é o dobro da margem de erro.

Em resumo, os intervalos de \(100 (1-\alpha)\%\) de confiança para \(p\) podem então ser de duas formas:

1. Método Conservador \[IC_1(p, 1-\alpha)=\left[\widehat p -z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}};\widehat p +z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}\right]\]

2. Usando \(\hat p\) para estimar o erro padrão \[IC_2(p, 1-\alpha)=\left[\widehat p -z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}};\widehat p +z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}}\right]\]

Veja que nos dois casos, os \(IC\)’s são da forma \(\widehat p \pm \mbox{margem de erro}\)

De uma amostra aleatória de 100 alunos de uma universidade, 82 afirmaram ser não fumantes.

Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de não fumantes entre todos os alunos da universidade.

\(\widehat p =0.82, n=100, \alpha=0.01,\) e \(z_{0.005}=2.58\)

\[ \begin{aligned} IC_1(p, 0.99) &= \left[\widehat p - z_{0.005}\sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}}; \widehat p + z_{0.005}\sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}}\right] \\ &= \left[ 0.82 -2.58\sqrt{\frac{(0.82)(0.18)}{100}} ; 0.82 + 2.58\sqrt{\frac{(0.82)(0.18)}{100}}\right] \\ &= [0.82 - 0.10; 0.82 + 0.10] = [0.72; 0.92] \end{aligned} \]

Podemos também calcular o \(IC\) de 99% pelo método conservador: \[ \begin{aligned} IC_2(p, 0.99) &= \left[\widehat p - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}; \widehat p + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}\right] \\ &= \left[0.82 - 2.58\sqrt{\frac{1}{400}}; 0.82 + 2.58\sqrt{\frac{1}{400}}\right] \\ &= [0.82 - 0.13; 0.82 + 0.13] = [0.69; 0.95] \end{aligned} \]

Interpretação: Com um grau de confiança de 99%, estimamos que a proporção de não fumantes entre os alunos está entre 72% e 92% (resultado do slide anterior).

E pelo método conservador, com um grau de confiança de 99%, estimamos que a proporção de não fumantes entre os alunos está entre 69% e 95%.

Pesquisa do GSS. Você concorda ou não com a seguinte frase: “é mais importante para um esposa ajudar a carreira do marido do que ter uma carreira própria.”

A última vez que esta pergunta foi incluída no GSS foi em 1998 onde 1823 pessoas responderam e 19% concordaram.

• Calcule e interprete o \(IC\) de 95% para a proporção na população que concorda com a frase.

• Encontre e interprete a margem de erro do \(IC\) de 95%.

Calcule e interprete o \(IC\) de 95% para a proporção na população que concorda com a frase.

\(\widehat p =0.19, n=1823, \alpha=0.05,\) e \(z_{0.025}=1.96\)

Então,

\[ \begin{aligned} IC(p, 0.95) &= \left[\widehat p -1.96 \sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}} ; \widehat p +1.96 \sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}}\right] \\ &= \left[0.19-1.96 \sqrt{\frac{0.19(1-0.19)}{1823}}; 0.19 + 1.96 \sqrt{\frac{0.19(1-0.19)}{1823}}\right] \\ &= [0.19 - 0.02; 0.19 + 0.02] \\ &= [0.17; 0.21] \end{aligned} \]

Interpretação: Se várias amostras aleatórias forem retiradas da população e calcularmos um \(IC\) de 95% para cada amostra, cerca de 95% desses intervalos irão conter a verdadeira proporção na população, \(p\).

INCORRETO: Dizer que “a probabilidade de que \(p\) esteja dentro do intervalo é 95%”

Por que incorreto? \(p\) é uma constante, não é variável aleatória. Ou \(p\) está no intervalo calculado ou não está.

Um \(IC\) de 95% para \(p\) é: \([0.17; 0.21]\)

A margem de erro (metade do comprimento do IC) é:

\[ME=1.96\sqrt{\frac{0.19(1-0.19)}{1823}}=0.02\]

\[P(|\widehat p -p|<0.02)=0.95\]

Interpretação: Com probabilidade 0.95, o erro ao usar a proporção amostral para estimar a proporção populacional não excede 0.02.

Curiosidade: em 1977 a pergunta foi feita pela primeira vez no GSS. \(\widehat p =0.57\) e \(IC\) de 95% foi \([0.55; 0.59]\).

Na teoria, muita gente se considera “eco-friendly”. Mas e na prática?

Pergunta: Você pagaria mais para um produto em favor ao meio ambiente?

Em 2000, GSS perguntou: “Você estaria disposto a pagar mais pela gasolina para proteger o ambiente?”

Entre \(n=1154\) participantes, \(518\) responderam que sim.

• Encontre IC 95% para a proporção da população que concorda.

• Interprete.

Estimativa: \(\widehat p =518/1154=0.45\)

erro padrão (desvio padrão da estimativa): \(EP(\widehat p) = \sqrt{\frac{(0.45)(1-0.45)}{1154}}=0.015\)

Margem de erro: \(1.96 EP(\widehat p) = 0.03\)

\[\begin{aligned} IC(p, 0.95) &= \left[0.45 - 1.96 \sqrt{\frac{(0.45)(0.55)}{1154}}; 0.45+1.96 \sqrt{\frac{(0.45)(0.55)}{1154}}\right] \\ &= [0.45 - 0.03; 0.45 + 0.03] \\ &= [0.42; 0.48] \end{aligned} \]

Interpretação: Com grau de confiança de 95%, estimamos que a proporção populacional que concorda em pagar mais está entre 0.42 e 0.48. A estimativa pontual, 0.45, tem margem de erro de 3%.

E se estivéssemos interessados na proporção que não pagaria mais?

Estimativa: \(\widehat p = 1-518/1154 = 0.55\)

erro padrão (desvio padrão da estimativa: \(EP(\widehat p) = \sqrt{\frac{(0.55)(1-0.55)}{1154}}=0.015\)

Margem de erro: \(1.96 EP(\widehat p) = 0.03\)

\[\begin{aligned} IC(p, 0.95) &= \left[0.55 -1.96 \sqrt{\frac{(0.55)(0.45)}{1154}}; 0.55+1.96 \sqrt{\frac{(0.55)(0.45)}{1154}}\right] \\ &= [0.55 - 0.03; 0.55 + 0.03] = [0.52; 0.58] \end{aligned} \]

Interpretação: Com grau de confiança de 95%, estimamos que a proporção populacional que não pagaria mais está entre 0.52 e 0.58. A estimativa pontual, 0.55, tem margem de erro de 3%.

Pergunta: Se a esposa quer ter um filho, mas o marido não, é justo que ele se recuse a ter um filho?

GSS: 598 responderam, 366 acham justo. Encontre um \(IC\) de 99%.

Estimativa: \(\widehat p = 366/598 = 0.61\)

erro padrão (desvio padrão da estimativa): \(EP(\widehat p) = \sqrt{\frac{\widehat p (1-\widehat p )}{n}} = 0.02\)

Margem de erro: \(2.58 EP(\widehat p) = 0.05\)

\[\begin{aligned} IC(p, 0.99) &= \left[0.61 - 0.05\,;\,0.61 + 0.05 \right]= \left[0.56\,;\,0.66\right] \end{aligned} \]

Com grau de confiança igual a 99%, estimamos que a proporção populacional que concorda está entre 0.56 e 0.66. A estimativa pontual, 0.61, tem margem de erro de 5%.

E o \(IC\) de 95%?

Margem de erro: \(1.96 EP(\widehat p) = 1.96 \times 0.02 = 0.04\)

\[\begin{aligned} IC(p, 0.95) &= \left[0.61 - 0.04\,;\,0.61 + 0.04\right] \\ &= \left[0.57\,;\,0.65\right] \end{aligned} \]

Com grau de confiança igual a 95%, estimamos que a proporção populacional que concorda está entre 0.57 e 0.65. A estimativa pontual, 0.61, tem margem de erro de 4%.

Com maior grau de confiança, temos uma margem de erro um pouco maior.

A Datafolha quer fazer uma pesquisa de boca-de-urna para predizer o resultado de uma eleição com apenas dois candidatos.

Seleciona então uma a.a. de eleitores e pergunta em quem cada um votou. Para esta pesquisa, o Datafolha quer uma margem de erro de 4%. Qual o tamanho de amostra necessário?

• O grau de confiança é 95% e \(IC(p, 0.95) = \widehat p \pm 1.96\times EP(\widehat p )\)

• Erro padrão de \(\widehat p\) é \(EP(\hat p) = \sqrt{p(1-p)/n}\)

• Margem de erro: \(1.96 \times EP(\widehat p )=1.96\sqrt{p(1-p)/n}\)

• Margem de erro desejada é 0.04. Então, o tamanho amostral necessário \(n\) é:

\[1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=0.04 \quad \Rightarrow \quad n=\frac{1.96^2p(1-p)}{0.04^2}\]

Problema é que não conhecemos \(p\).

Assim como para encontrar os \(IC\)’s, podemos usar o método conservador ou então usar informações obtidas em pesquisas anteriores (caso existam).

Método Conservador:

• Lembre que \(p(1-p)/n\) é a variância da estimativa \(\widehat p\) e já vimos anteriormente que \(p(1-p)\leq 1/4\).

• Então, \[n=\frac{1.96^2\times (1/4)}{0.04^2}=600\]

Outra alternativa

• O Datafolha fez uma pesquisa na semana passada e o resultado foi 58% votariam no candidato \(A\) e 42% no \(B\).

• Podemos usar então estas estimativas: \[n=\frac{1.96^2\widehat p (1-\widehat p )}{0.04^2}=\frac{1.96^2(0.58)(0.42)}{0.04^2}=585\]

• Uma a.a. de tamanho 585 deverá resultar numa margem de erro de 4% para um IC de 95% para a proporção da população que vota no candidato \(A\).

Uma firma de propaganda está interessada em estimar a proporção de domicílios que estão assistindo a final do campeonato brasileiro de futebol.

Para isso, está planejando ligar para os domicílios selecionados aleatoriamente a partir de uma lista.

Qual o tamanho da amostra necessário se a firma quer 90% de confiança de que a estimativa obtida tenha uma margem de erro igual a 0.02?

Método conservador: \(IC(p, 1-\alpha) = \left[ \widehat p -z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}\,;\, \widehat p +z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}\right]\)

Margem de erro 0.02:\(\quad z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}} = 0.02\)

Como eles querem 90% de confiança, \(\alpha=0.10\) e \(z_{0.05}=1.645\)

\[1.645\sqrt{1/4n}=0.02 \quad \Longleftrightarrow \quad 1/4n=(0.02/1.645)^2 \quad \Rightarrow \quad n=1691.3\]

Tamanho amostral: 1692.

Em geral, para uma margem de erro \(m\): \[n=\left(\frac{z_{\alpha/2}}{2m}\right)^2\]

Suponha que \(p=30\%\) dos estudantes de uma escola sejam mulheres.

Coletamos uma amostra aleatória simples de \(n=10\) estudantes e calculamos a proporção de mulheres na amostra, ou seja, \(\widehat p\).

Qual a probabilidade de que \(\widehat p\) difira de \(p\) em menos de \(0.01\)? E se \(n=50\)?

Adaptado de: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 276.

Solução: Temos que a probabilidade que desejamos encontrar é dada por

\[P \left( |\widehat p -p| < 0.01 \right) = P \left( -0.01 < \widehat p - p < 0.01 \right )\]

onde \(p\) é o valor verdadeiro da proporção de mulheres, e \(\widehat p\) a proporção observada na amostra.

Seja \(X_i\) a v.a. indicando se a pessoa \(i\) é mulher, ou seja, \(X_i\sim\mbox{Bernoulli}(0.3)\).

Então sabemos que \(\mathbb E(X_i)=p=0.3\) e \(Var(X_i)=p(1-p)=0.21\).

Coletamos uma amostra de tamanho \(n\): \(X_1,\ldots,X_n\). Calculamos a proporção de mulheres na amostra: \[\bar{X}_n=\frac{S_n}{n}=\frac{X_1+ \ldots +X_n}{n}\]

Sabemos que \(\mathbb E(\bar X_n) = \mathbb E(X_i)=p = 0.3\) e \(Var(\bar X_n) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0.21}{10} = 0.021\).

Pelo TCL, quando \(n\) é grande, \[\bar X_n = \widehat p \sim N\left(p, p(1-p)/n \right) = N(0.3, 0.021)\]

A probabilidade que queremos calcular é: \[P \left( |\widehat p -p| < 0.01 \right) = P \left( -0.01 < \widehat p - p < 0.01 \right )\]

\[P \left( -\frac{0.01}{\sqrt{Var(\widehat p )}} < \frac{\widehat p - p}{\sqrt{Var(\widehat p )}} < \frac{0.01}{\sqrt{Var(\widehat p )}} \right )\]

\[P \left( \frac{-0.01}{\sqrt{0.021}} < Z < \frac{0.01}{\sqrt{0.021}} \right) = P(-0.07 < Z < 0.07) = 0.056\,.\]

Mas \(n=10\) é grande o suficiente?

Podemos comparar essa probabilidade com o resultado exato!

Não sabemos a distribuição de \(\widehat p\), mas sabemos que \(X_i\) são v.a. independentes e identicamente distribuidas Bernoulli\((0.3)\).

Portanto, \(\sum_{i=1}^n X_i \sim Bin(10,0.3)\) e \(\widehat p = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).

Então,

\[\begin{aligned} P \left( |\widehat p - p| < 0.01 \right) &= P \left( -0.01 < \widehat p - p < 0.01 \right) \\ &= P\left( -0.01n < n\widehat p - np < 0.01n \right) \\ &=P\left(-0.1 < \sum_{i=1}^n X_i - 3 < 0.1 \right) \\ &=P\left(2.9 < \sum_{i=1}^n X_i < 3.1 \right) \end{aligned}\]

Como \(\sum X_i\) assume somente valores inteiros, temos que \[\begin{aligned} P \left( |\widehat p -p| < 0.01 \right) &= P\left(2.9 < \sum_{i=1}^n X_i < 3.1 \right) \\ &=P\left(\sum_{i=1}^n X_i = 3 \right) \\ &= {\binom{10}{3}}(0.3)^3 (0.7)^7 = 0.267. \end{aligned}\]

Temos uma probabilidade que é 5 vezes maior que a aproximação.