Distribuição Amostral e Teorema Central do Limite

Estimar uma Proporção: Eleições para a Prefeitura

  • Quero saber se o candidato \(A\) vai ganhar as eleições para prefeito.
  • Quero saber o parâmetro populacional \(p\) = proporção de pessoas que votam em \(A\).
  • Posso esperar o resultado das eleições para saber, ou seja, teríamos as respostas de todas as pessoas da cidade.
  • Posso usar uma amostra para estimar a proporção de votos para \(A\).
  • Quão boa é a estimativa? É precisa?
  • Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.

Modo 1

  • A cidade tem \(N\) pessoas (eleitores).
  • Seja \[X_i = \begin{cases} 1, & \text{se a pessoa $i$ vota em $A$} \\ 0, & \text{se a pessoa $i$ não vota em $A$} \end{cases}\]
  • \(\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_N)\): respostas de todas as pessoas (no dia da eleição).
  • Média populacional: \[p=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\]

Modo 1

  • Variância populacional:

\[\begin{aligned} \sigma^2 &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(X_i-p)^2\\ &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(X_i^2-2pX_i+p^2)\\ &= \frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N X_i^2 - 2p \sum_{i=1}^N X_i + \sum_{i=1}^N p^2 \right)\\ &= \frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N X_i-2p\sum_{i=1}^N X_i+\sum_{i=1}^N p^2 \right) \\ &= \frac{1}{N} \left(Np - 2pNp + Np^2 \right) = p(1-p) \end{aligned}\]

Modo 1

  • \(p\) = proporção de pessoas na cidade que votam em \(A\).
  • \(\sigma^2 = p(1-p)\) é a variância da população.
  • Até o dia da eleição, não sabemos \(p\).
  • Coletamos uma amostra aleatória de tamanho \(n\) para uma pesquisa eleitoral.
  • \(\hat{p}\): proporção de pessoas na amostra que votam em \(A\).
  • Quão boa é a estimativa? É precisa?
  • Se outra pessoa também coleta uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula \(\hat{p}\), teremos o mesmo valor?

Modo 1 - Exemplo \(N=5\)

\[\mathbf{X}=(X_1, X_2, \ldots, X_5)=(1, 0, 1, 0, 1)\]

\[p = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 X_i = \frac{3}{5} = 0.6\]

\[\begin{aligned} \sigma^2 &= \frac{1}{5}\sum_{i=1}^N(X_i-p)^2 \\ &= \frac{1}{5} \left[3\times(1-0.6)^2+2\times(0-0.6)^2 \right] \\ &= 0.24\\ &= p(1-p) \end{aligned}\]

Modo 1 - Exemplo \(N=5\)

Gráfico de barras (proporção) dos dados populacionais:

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)

\(N^n=5^2=25\) amostras possíveis.

Primeira pessoa Segunda pessoa \(\hat{p}\)
1 1 1 1.0
2 2 1 0.5
3 3 1 1.0
4 4 1 0.5
5 5 1 1.0
6 1 2 0.5
7 2 2 0.0
8 3 2 0.5
9 4 2 0.0
10 5 2 0.5
11 1 3 1.0
12 2 3 0.5
13 3 3 1.0
Primeira pessoa Segunda pessoa \(\hat{p}\)
14 4 3 0.5
15 5 3 1.0
16 1 4 0.5
17 2 4 0.0
18 3 4 0.5
19 4 4 0.0
20 5 4 0.5
21 1 5 1.0
22 2 5 0.5
23 3 5 1.0
24 4 5 0.5
25 5 5 1.0

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)

Distribuição amostral de \(\hat p\):

\(x\) \(P(\hat{p}=x)\)
0 0.16
0.5 0.48
1 0.36


\[\begin{aligned} \mathbb E(\hat{p}) &= 0\times 0.16 + 0.5\times 0.48 + 1\times 0.36 = 0.6 = p \\ Var(\hat{p})&= \mathbb E[(\hat{p}-p)^2] \\ &= 0.16\times(0-0.6)^2 + 0.48\times(0.5-0.6)^2 + 0.36\times (1-0.6)^2 \\ &= 0.12=\frac{0.24}{2}=\frac{p(1-p)}{n} \end{aligned}\]

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)

Distribuição amostral de \(\hat{p}\):

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

\(N^n = 5^3 = 125\) amostras possíveis.

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
1 1 1 1 1.000
2 2 1 1 0.667
3 3 1 1 1.000
4 4 1 1 0.667
5 5 1 1 1.000
6 1 2 1 0.667
7 2 2 1 0.333
8 3 2 1 0.667
9 4 2 1 0.333
10 5 2 1 0.667
11 1 3 1 1.000
12 2 3 1 0.667
13 3 3 1 1.000
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
14 4 3 1 0.667
15 5 3 1 1.000
16 1 4 1 0.667
17 2 4 1 0.333
18 3 4 1 0.667
19 4 4 1 0.333
20 5 4 1 0.667
21 1 5 1 1.000
22 2 5 1 0.667
23 3 5 1 1.000
24 4 5 1 0.667
25 5 5 1 1.000
26 1 1 2 0.667

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
27 2 1 2 0.333
28 3 1 2 0.667
29 4 1 2 0.333
30 5 1 2 0.667
31 1 2 2 0.333
32 2 2 2 0.000
33 3 2 2 0.333
34 4 2 2 0.000
35 5 2 2 0.333
36 1 3 2 0.667
37 2 3 2 0.333
38 3 3 2 0.667
39 4 3 2 0.333
40 5 3 2 0.667
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
41 1 4 2 0.333
42 2 4 2 0.000
43 3 4 2 0.333
44 4 4 2 0.000
45 5 4 2 0.333
46 1 5 2 0.667
47 2 5 2 0.333
48 3 5 2 0.667
49 4 5 2 0.333
50 5 5 2 0.667
51 1 1 3 1.000
52 2 1 3 0.667
53 3 1 3 1.000
54 4 1 3 0.667

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
55 5 1 3 1.000
56 1 2 3 0.667
57 2 2 3 0.333
58 3 2 3 0.667
59 4 2 3 0.333
60 5 2 3 0.667
61 1 3 3 1.000
62 2 3 3 0.667
63 3 3 3 1.000
64 4 3 3 0.667
65 5 3 3 1.000
66 1 4 3 0.667
67 2 4 3 0.333
68 3 4 3 0.667
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
69 4 4 3 0.333
70 5 4 3 0.667
71 1 5 3 1.000
72 2 5 3 0.667
73 3 5 3 1.000
74 4 5 3 0.667
75 5 5 3 1.000
76 1 1 4 0.667
77 2 1 4 0.333
78 3 1 4 0.667
79 4 1 4 0.333
80 5 1 4 0.667
81 1 2 4 0.333
82 2 2 4 0.000

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
83 3 2 4 0.333
84 4 2 4 0.000
85 5 2 4 0.333
86 1 3 4 0.667
87 2 3 4 0.333
88 3 3 4 0.667
89 4 3 4 0.333
90 5 3 4 0.667
91 1 4 4 0.333
92 2 4 4 0.000
93 3 4 4 0.333
94 4 4 4 0.000
95 5 4 4 0.333
96 1 5 4 0.667
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
97 2 5 4 0.333
98 3 5 4 0.667
99 4 5 4 0.333
100 5 5 4 0.667
101 1 1 5 1.000
102 2 1 5 0.667
103 3 1 5 1.000
104 4 1 5 0.667
105 5 1 5 1.000
106 1 2 5 0.667
107 2 2 5 0.333
108 3 2 5 0.667
109 4 2 5 0.333
110 5 2 5 0.667

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\hat{p}\)
111 1 3 5 1.000
112 2 3 5 0.667
113 3 3 5 1.000
114 4 3 5 0.667
115 5 3 5 1.000
116 1 4 5 0.667
117 2 4 5 0.333
118 3 4 5 0.667
119 4 4 5 0.333
120 5 4 5 0.667
121 1 5 5 1.000
122 2 5 5 0.667
123 3 5 5 1.000
124 4 5 5 0.667
125 5 5 5 1.000

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Distribuição amostral de \(\hat{p}\):

\(x\) \(P(\hat{p}=x)\)
0 0.064
0.333 0.288
0.667 0.432
1 0.216

\[\begin{aligned} \mathbb E(\hat p) &= 0\times 0.064 + 0.333\times 0.288 + 0.667\times 0.432 + 1\times 0.216\\ &= 0.6 = p\\ Var(\hat p)&= \mathbb E[(\hat p - p)^2] \\ &= 0.08 = \frac{0.24}{3}=\frac{p(1-p)}{n} \end{aligned}\]

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Distribuição amostral de \(\hat{p}\):

Modo 1

  • \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_N)\) é fixo

  • Amostra aleatória de tamanho \(n\)

  • \(\hat{p}\) é v.a. (pelo processo de amostragem)

  • \(\mathbb E(\hat p)=p\)

  • \(Var(\hat p)=\frac{p(1-p)}{n}\)

Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=100\)

\(p=0.6\) - Distribuição amostral de \(\hat{p}\):

Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=1000\)

\(p=0.6\) - Distribuição amostral de \(\hat{p}\):

Modo 2

Suponha que a resposta de uma pessoa da cidade sobre se vota ou não no candidato \(A\) possa ser representada por uma variável aleatória \(X\), tal que \(X \sim b(p)\), ou seja: \[ X = \begin{cases} 1, & \text{com probabilidade } p \\ 0, & \text{com probabilidade } 1-p \end{cases}\]

\(\begin{aligned} \mathbb E(X) &= 1 \times P(X=1) + 0 \times P(X=0) \\ &= 1\times p + 0\times (1-p) = p\\ & \\ Var(X) &= \mathbb E[(X - p)^2] \\ &= (1-p)^2 \times P(X=1) + (0 - p)^2 \times P(X=0) \\ &=p(1-p)^2 + (1-p)p^2 = p(1-p) \end{aligned}\)

Modo 2 - Exemplo \(n=2\)

Todas as combinações possíveis de amostras com \(n=2\) são:

Possibilidades \((X_1 = 1, X_2 = 1)\) \((X_1 = 1, X_2 = 0)\) \((X_1 = 0, X_2 = 1)\) \((X_1=0,X_2=0)\)
\(\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) 1 0.5 0.5 0
\(P(X_1 = i, X_2 = j)\) \(p^2\) \(p(1-p)\) \((1-p)p\) \((1-p)^2\)


\(\displaystyle \mathbb E(\hat{p}) = 1 \times p^2 + 0.5 \times p(1-p) + 0.5 \times (1-p)p + 0\times (1-p)^2= p\)

\(\begin{aligned} Var(\hat{p}) &= \mathbb E[(\hat{p} - p)^2 ] \\ &= (1 - p)^2 \times p^2 + (0.5 - p)^2 p(1-p) + (0.5 - p)^2 (1-p)p + (0 - p)^2 (1-p)^2 \\ &= \frac{p(1-p)}{2} \end{aligned}\)

Note que: \(\displaystyle \mathbb E(\hat{p}) = p = \mathbb E(X) \qquad\) e \(\qquad \displaystyle Var(\hat{p}) = \frac{Var(X)}{n}\).

Modo 2 - Exemplo \(n=2\)

Gráficos das distribuições de probabilidade de \(X\sim b(p=0.6)\) e \(\hat{p}\):

Resultado

Seja \(X\) uma v.a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro \(p\). Sabe-se que \(\mathbb E(X)=p\) e \(Var(X)=p(1-p)\). Considere uma amostra aleatória \(X_1, X_2,\ldots, X_n\) de \(X\).

A proporção amostral \[\hat{p} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\] tem as seguintes propriedades:

\[\mathbb E (\hat{p}) = p \qquad \mbox{e} \qquad Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}.\]

(propriedade de linearidade da esperança e da variância, esta última em caso de independência)

Ou seja, embora \(p\) seja desconhecido, sabemos que o valor esperado da proporção amostral é \(p\).

Além disso, conforme o tamanho amostral aumenta, a imprecisão de \(\hat{p}\) para estimar \(p\) fica cada vez menor, pois \(Var(\hat{p}) = p(1-p)/n\) é inversamente proporcional ao tamanho amostral \(n\).

Modo 2

  • \(X_i\sim b(p)\) é v.a. (o voto ou não em \(A\) é considerado uma v.a.)

  • Amostra aleatória de tamanho \(n\)

  • \(\hat{p}\) é v.a. (é combinação linear de v.a.’s)

  • \(\mathbb E(\hat{p})=p\)

  • \(Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\)

Modo 2 - Exemplo \(n=3\)

Amostra aleatória \(n=3\) de \(X \sim b(p=0.6)\).

  • \(\mathbb E(X) = p = 0.6 \qquad \Rightarrow \qquad \mathbb E (\hat{p}) = 0.6\)

  • \(Var(X) = p(1 - p) = 0.24 \;\; \Rightarrow \;\; Var(\hat{p}) = \frac{0.24}{3} = 0.08\)

Modo 2 - Exemplo \(n=30\)

\(p=0.6\)

Modo 2 - Exemplo \(n=100\)

\(p=0.6\)

Modo 2 - Exemplo \(n=1000\)

\(p=0.6\)

Resumo dos exemplos

  • Modo 1: repostas são “fixas”, com média populacional \(p\) e variância populacional \(p(1-p)\).
  • Modo 2: respostas são v.a.’s \(X \sim b(p)\), com \(\mathbb E(X)=p\) e \(Var(X)=p(1-p)\).
  • Em ambos os casos, a partir do momento que retiro uma amostra aleatória de tamanho \(n\), temos as mesmas propriedades e comportamento para a proporção amostral \(\hat{p}\): \(\quad \mathbb E(\hat p)=p \qquad \text{e} \qquad Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\)
  • E, conforme \(n\) aumenta, vimos nos gráficos que: \[\hat{p} \sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\]

Estimar uma média: Salários

  • Quero saber o salário médio das pessoas de uma certa cidade (parâmetro populacional de interesse).
  • Posso usar uma amostra e estimar usando a média amostral.
  • Quão boa é a estimativa? É precisa?
  • Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.

Modo 1

  • Cidade com \(N\) pessoas.

  • \(X_i\) é o salário da pessoa \(i\).

  • \(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_N)\): respostas de toda a população.

  • Média populacional: \(\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\)

  • Variância populacional: \(\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(X_i-\mu)^2\)

Modo 1

  • \(\mu\) = salário médio da população.

  • \(\sigma^2\) é a variância da população.

  • Coletamos uma amostra aleatória de tamanho \(n\).

  • \(\bar{X}\): média salarial na amostra.

  • Quão boa é a estimativa? É precisa?

  • Se outra pessoa também coleta uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula \(\bar{X}\) teremos o mesmo valor?

Modo 1 - Exemplo \(N=5\)

\[\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_5)=(1000,2000,3000,4000,5000)\]

\[\mu=\frac{\sum_{i=1}^5X_i}{5}=3000\] \[\sigma^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^N(X_i-\mu)^2=2000000\]

Modo 1 - Exemplo \(N=5\)

Gráfico de barras (proporção) dos dados populacionais:

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)

\(N^n = 5^2 = 25\) amostras possíveis.

Pessoa 1 Pessoa 2 \(\bar{X}\)
1 1 1 1000
2 2 1 1500
3 3 1 2000
4 4 1 2500
5 5 1 3000
6 1 2 1500
7 2 2 2000
8 3 2 2500
9 4 2 3000
10 5 2 3500
11 1 3 2000
12 2 3 2500
13 3 3 3000
Pessoa 1 Pessoa 2 \(\bar{X}\)
14 4 3 3500
15 5 3 4000
16 1 4 2500
17 2 4 3000
18 3 4 3500
19 4 4 4000
20 5 4 4500
21 1 5 3000
22 2 5 3500
23 3 5 4000
24 4 5 4500
25 5 5 5000

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)

Distribuição amostral de \(\bar{X}\):

\(x\) \(P(\bar{X}=x)\)
1000 0.04
1500 0.08
2000 0.12
2500 0.16
3000 0.20
3500 0.16
4000 0.12
4500 0.08
5000 0.04

\[\begin{eqnarray} E(\bar{X})&=&3000=\mu\\ & \\ Var(\bar{X})&=&E[(\bar{X}-\mu)^2]=10^{6}\\ &=&\frac{2000000}{2}=\frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray}\]

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)

Distribuição amostral de \(\bar{X}\):

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

\(N^n=5^3=125\) amostras possíveis.

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
1 1 1 1 1000.000
2 2 1 1 1333.333
3 3 1 1 1666.667
4 4 1 1 2000.000
5 5 1 1 2333.333
6 1 2 1 1333.333
7 2 2 1 1666.667
8 3 2 1 2000.000
9 4 2 1 2333.333
10 5 2 1 2666.667
11 1 3 1 1666.667
12 2 3 1 2000.000
13 3 3 1 2333.333
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
14 4 3 1 2666.667
15 5 3 1 3000.000
16 1 4 1 2000.000
17 2 4 1 2333.333
18 3 4 1 2666.667
19 4 4 1 3000.000
20 5 4 1 3333.333
21 1 5 1 2333.333
22 2 5 1 2666.667
23 3 5 1 3000.000
24 4 5 1 3333.333
25 5 5 1 3666.667
26 1 1 2 1333.333

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
27 2 1 2 1666.667
28 3 1 2 2000.000
29 4 1 2 2333.333
30 5 1 2 2666.667
31 1 2 2 1666.667
32 2 2 2 2000.000
33 3 2 2 2333.333
34 4 2 2 2666.667
35 5 2 2 3000.000
36 1 3 2 2000.000
37 2 3 2 2333.333
38 3 3 2 2666.667
39 4 3 2 3000.000
40 5 3 2 3333.333
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
41 1 4 2 2333.333
42 2 4 2 2666.667
43 3 4 2 3000.000
44 4 4 2 3333.333
45 5 4 2 3666.667
46 1 5 2 2666.667
47 2 5 2 3000.000
48 3 5 2 3333.333
49 4 5 2 3666.667
50 5 5 2 4000.000
51 1 1 3 1666.667
52 2 1 3 2000.000
53 3 1 3 2333.333
54 4 1 3 2666.667

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
55 5 1 3 3000.000
56 1 2 3 2000.000
57 2 2 3 2333.333
58 3 2 3 2666.667
59 4 2 3 3000.000
60 5 2 3 3333.333
61 1 3 3 2333.333
62 2 3 3 2666.667
63 3 3 3 3000.000
64 4 3 3 3333.333
65 5 3 3 3666.667
66 1 4 3 2666.667
67 2 4 3 3000.000
68 3 4 3 3333.333
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
69 4 4 3 3666.667
70 5 4 3 4000.000
71 1 5 3 3000.000
72 2 5 3 3333.333
73 3 5 3 3666.667
74 4 5 3 4000.000
75 5 5 3 4333.333
76 1 1 4 2000.000
77 2 1 4 2333.333
78 3 1 4 2666.667
79 4 1 4 3000.000
80 5 1 4 3333.333
81 1 2 4 2333.333
82 2 2 4 2666.667

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
83 3 2 4 3000.000
84 4 2 4 3333.333
85 5 2 4 3666.667
86 1 3 4 2666.667
87 2 3 4 3000.000
88 3 3 4 3333.333
89 4 3 4 3666.667
90 5 3 4 4000.000
91 1 4 4 3000.000
92 2 4 4 3333.333
93 3 4 4 3666.667
94 4 4 4 4000.000
95 5 4 4 4333.333
96 1 5 4 3333.333
Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
97 2 5 4 3666.667
98 3 5 4 4000.000
99 4 5 4 4333.333
100 5 5 4 4666.667
101 1 1 5 2333.333
102 2 1 5 2666.667
103 3 1 5 3000.000
104 4 1 5 3333.333
105 5 1 5 3666.667
106 1 2 5 2666.667
107 2 2 5 3000.000
108 3 2 5 3333.333
109 4 2 5 3666.667
110 5 2 5 4000.000

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 \(\bar{X}\)
111 1 3 5 3000.000
112 2 3 5 3333.333
113 3 3 5 3666.667
114 4 3 5 4000.000
115 5 3 5 4333.333
116 1 4 5 3333.333
117 2 4 5 3666.667
118 3 4 5 4000.000
119 4 4 5 4333.333
120 5 4 5 4666.667
121 1 5 5 3666.667
122 2 5 5 4000.000
123 3 5 5 4333.333
124 4 5 5 4666.667
125 5 5 5 5000.000

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Distribuição amostral de \(\bar{X}\):

\(x\) \(P(\bar{X}=x)\)
1000 0.008
1333.333 0.024
1666.667 0.048
2000 0.080
2333.333 0.120
2666.667 0.144
3000 0.152
3333.333 0.144
3666.667 0.120
4000 0.080
4333.333 0.048
4666.667 0.024
5000 0.008

\[\begin{eqnarray} E(\bar{X})&=&3000=\mu\\ &\\ Var(\bar{X})&=&E[(\bar{X}-\mu)^2]=6.6666668\times 10^{5}\\ &=&\frac{2000000}{3}=\frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray}\]

Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)

Distribuição amostral de \(\bar{X}\):

Modo 1

  • \(\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_N)\) é fixo

  • Amostra aleatória de tamanho \(n\)

  • \(\bar{X}\) é v.a.

  • \(\mathbb E(\bar{X})=\mu\)

  • \(Var(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)

Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=100\)

\(\mu=3000\) - Distribuição amostral de \(\bar{X}\):

Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=1000\)

\(\mu=3000\) - Distribuição amostral de \(\bar{X}\):

Modo 2

Suponha que o salário de uma pessoa possa ser representado por uma variável aleatória uniforme discreta assumindo os valores 1000, 2000, 3000, 4000 ou 5000.

\(\begin{aligned} \mu=\mathbb E(X) &= \frac{1000+2000+3000+4000+5000}{5}=3000 \\ \sigma^2=Var(X) &= \frac{1}{5}[(1000-3000)^2+(2000-3000)^2+(3000-3000)^2\\ &+(4000-3000)^2+(5000-3000)^2]\\ &= 2000000 \end{aligned}\)

Modo 2

Distribuição da variável \(X\) (do salário de cada indivíduo da população):

Modo 2 - Exemplo \(n=2\)

Então, temos que

\(\displaystyle \mathbb E(\bar{X}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb E (X_i)= E(X)=\mu=3000\)

\(\begin{aligned} Var(\bar{X}) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Var (X_i)= \frac{Var(X)}{n}=\frac{\sigma^2}{n}=1000000\\ \end{aligned}\)

(propriedades de linearidade da esperança e variância (a.a.))

Resultado

Seja \(X\) uma v.a. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\) e \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) uma amostra aleatória de \(X\).

A média amostral \[\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\] tem as seguintes propriedades:

\[\mathbb E (\bar X_n) = \mu \qquad \mbox{e} \qquad Var(\bar X_n) = \frac{\sigma^2}{n}.\]

(propriedade de linearidade da esperança e da variância, esta última em caso de independência)

Ou seja, embora \(\mu\) seja desconhecido, sabemos que o valor esperado da média amostral é \(\mu\).

Além disso, conforme o tamanho amostral aumenta, a imprecisão da média amostral para estimar \(\mu\) fica cada vez menor, pois \(Var(\bar X) = \sigma^2/n\) é inversamente proporcional ao tamanho amostral \(n\).

Modo 2 - Exemplo \(n=30\)

Modo 2 - Exemplo \(n=100\)

Modo 2 - Exemplo \(n=1000\)

Resultados

Temos uma população com média (proporção) \(\mu\) (\(p\)) e variância \(\sigma^2\) desconhecida.

Retira-se uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula-se a média (ou proporção) amostral \(\bar{X}\) (ou \(\hat{p}\)) para estimar o parâmetro populacional desconhecido \(\mu\) (ou \(p\)).

Temos as propriedades: \[\mathbb E(\bar{X})=\mu \quad \quad Var(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\]

\[\mathbb E(\hat{p})=p\quad \quad Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\]

E, conforme \(n\) aumenta, pelos gráficos, parece que a distribuição amostral de \(\bar{X}\) e \(\hat{p}\) se aproxima da normal:

\[\bar{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \quad \hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\]

Resultados

Para uma amostra aleatória de tamanho \(n\) a partir de uma população:

  • com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\)

    \(\bar X\): \(\mathbb E(\bar X) = \mu\) e \(Var(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n}\). Erro padrão: \(EP(\bar{X})=\sqrt{Var(\bar X)}=\sigma/\sqrt{n}\).

  • com proporção populacional \(p\)

    \(\hat{p}\): \(\mathbb E(\hat{p}) = p\) e \(Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}\). Erro padrão: \(EP(\hat{p})=\sqrt{Var(\hat p)}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).

No exemplos, vimos também a distribuição amostral de \(\bar X\) ou \(\hat{p}\), mas isso só foi possível porque tínhamos informação de todos os valores possíveis na população.

Os exemplos anteriores foram casos hipotéticos apenas para ilustrar como \(\bar X\) e \(\hat{p}\) se comportam quando realizamos a amostragem.

Na prática, não teremos informações suficientes para de fato descrevermos a distribuição amostral exata de \(\bar X\) e \(\hat{p}\) (se tivermos, nem é preciso fazer amostragem!)

Teorema do Limite Central

Resultado

  • Para uma amostra aleatória \(X_1, \ldots ,X_n\) coletada de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\)
  • a distribuição amostral de \(\bar X\) aproxima-se de uma distribuição Normal de média \(\mu\) e variância \(\frac{\sigma^{2}}{n}\), quando \(n\) for suficientemente grande:

\[\bar{X} \sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)\]

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)\]

Obs: o resultado vale para \(\hat{p}\), com \(\mu=p\) e \(\sigma^2=p(1-p)\).

Teorema do Limite Central

Exemplo - Transistor

Suponha que \(X\) denota o tempo de vida de um transistor (em horas) e seu comportamento pode ser representado por uma distribuição Exponencial, tal que \(X \sim Exp(2)\), ou seja: \[f_{X}(x) = 2e^{-2x}, \qquad \mbox{para } x \geq 0.\]


Sabemos que:

\(\mathbb E(X) = \frac{1}{2}\)

\(Var(X) = \frac{1}{4}\)

Exemplo - Transistor

Os tempos de vida de 100 transistores escolhidos ao acaso são coletados e a média dos tempos é calculada, denotada por \(\bar X_{100}\).

Desejamos estudar a variável aleatória \(\bar X_{100}\).

Sabemos que: \[\mathbb E(\bar X_{100}) = \frac{1}{2} \mbox{ e } Var(\bar X_{100}) = \frac{1/4}{100} = \frac{1}{400}\]

Então, pelo TLC:

\[\displaystyle \bar X_{100}\sim N \left(\frac{1}{2},\frac{1}{400}\right).\]

Exemplo - lançamento de dados

\(X=\) resultado obtido no lançamento de um dado honesto.

\(x\) 1 2 3 4 5 6
\(p(x)=P(X=x)\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\)

\(\mathbb E(X) = \frac{1}{6}\times(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5\)

\(Var(X) = \frac{1}{6}[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+\ldots+(6-3.5)^2] = \frac{17.5}{6} = 2.92\)

  • \(X_i\): resultado do \(i\)-ésimo lançamento de um dado honesto.
  • \(X_i\) tem distribuição uniforme discreta.
  • \(\mu = \mathbb E(X_i) = 3.5 \qquad\) e \(\qquad \sigma^2 = Var(X_i) = 2.92\)

Exemplo - lançamento de dados

Se temos uma amostra aleatória de tamanho \(n\): \(X_1,X_2,\ldots, X_n\), pelo TLC sabemos que a distribuição amostral de \(\bar X\) é Normal\(\left( 3.5, \frac{2.92}{n} \right)\) para \(n\) grande.

O primeiro histograma a seguir mostra o resultado de 100000 repetições do seguinte experimento: observar o resultado do lançamento de 1 dado. Repare que é muito próximo de uma distribuição uniforme discreta (chance 1/6 para cada resultado), que é a distribuição de \(X\).

O segundo histograma mostra o resultado de 100000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 2 dados.

O último histograma mostra o resultado de 100000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 100 dados.

Repare que conforme o número de dados lançados (tamanho amostral) aumenta, a distribuição da média amostral se aproxima da distribuição normal com média 3.5 e variância cada vez menor (2.92/n).

Exemplo - lançamento de dados

Exemplo - lançamento de dados

Exemplo - lançamento de dados

Exemplo - lançamento de dados

Exemplo - lançamento de dados

Exemplo - lançamento de dados

Teorema do Limite Central (TLC)

Aproximação da Binomial pela Normal

Se \(\quad \widehat p = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}=\frac{S_n}{n} \quad \Longrightarrow \quad S_n = n\widehat p\).

Quando \(n\) é grande o suficiente: \(\quad \widehat p \sim N \left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\)

Nesse caso, qual a distribuição de \(S_n\)?

Vimos que \(S_n = X_1 + \ldots + X_n \sim Bin(n, p)\)

Pelas propriedades da distribuição Normal: \[S_n = n \widehat p \sim N \left(np, np(1-p) \right)\]

Portanto, quando \(n\) é grande, \(Bin(n, p) \approx N \left(np, np(1-p) \right)\)

Fundamentos de Inferência

Introdução

Um dos principais objetivos da Estatística é tirar conclusões a partir dos dados.

Dados em geral consistem de uma amostra de elementos de uma população de interesse.

Usar a amostra para tirar conclusões sobre a população.

Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?

Introdução


População: todos os elementos ou resultados de um problema que está sendo estudado.


Amostra: subconjunto da população de interesse.

Inferência Estatística

Variável: Característica numérica do resultado de um experimento.

Parâmetros: Característica numérica (desconhecida) da distribuição dos elementos da população.

Estimador/Estatística: Função da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar um parâmetro de interesse na população.

Estimativa: Valor numérico que um estimador assume para uma dada amostra.

Erro amostral: é a diferença entre um estimador e o parâmetro que se quer estimar.

Inferência Estatística

Estatística

Seja \(X_{1},...,X_{n}\) uma amostra e \[T = f(X_{1}, \ldots, X_{n})\] é uma estatística.

Exemplos:

  • \(\bar X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\frac{1}{n}(X_{1}+...+X_{n})\)
  • \(X_{(1)}=min\{X_{1},...,X_{n}\}\) ou \(X_{(n)}=max\{X_{1},...,X_{n}\}\)
  • \(X_{(i)}\) é o i-ésimo valor da amostra ordenada

Note que uma estatística é uma função que em uma determinada amostra assume um valor específico (estimativa).

Estatística

Para que serve uma estatística?

Para “estimar” características de uma população.

População:

  • Média \(\mu\)
  • Proporção \(p\)

Amostra:

  • Média Amostral \(\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)
  • Proporção Amostral \(\hat{p}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)

Exemplo

Temos interesse em saber a média e a variância da altura dos brasileiros: \(\mu\) e \(\sigma^2\).

Solução 1: Medir a altura de todos os brasileiros.

Solução 2: Selecionar de forma aleatória alguns brasileiros (amostra), analisá-la e inferir propriedades para toda a população.

Parâmetro

  • Cada quantidade de interesse (como \(\mu\), \(p\), \(\sigma^2\) no exemplo anterior) é chamada de parâmetro da população.
  • Para representar um estimador de um parâmetro (\(\widehat \mu\) e \(\hat{\sigma}^2\)), devemos escolher uma estatística (\(T\)).
  • Note que da maneira que o plano amostral foi executado (amostra aleatória), a estatística \(T\) é uma variável aleatória, visto que cada vez que executarmos o plano amostral poderemos obter resultados diversos.
  • Portanto, a estatística \(T\) possui uma distribuição de probabilidade, chamada de distribuição amostral de T.

Leituras

  • Ross: capítulo 7.
  • OpenIntro: seção 4.1.
  • Magalhães: capítulo 7.



Slides produzidos pelos professores:

  • Samara Kiihl

  • Tatiana Benaglia

  • Larissa Matos

  • Benilton Carvalho

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