Distribuição amostral e Teorema Central do Limite
Estimar uma proporção: Eleições para a prefeitura
- Quero saber se o candidato \(A\) vai ganhar as eleições para prefeito.
- Quero saber o parâmetro populacional \(p\) = proporção de pessoas que votam em \(A\).
- Posso esperar o resultado das eleições para saber, ou seja, teríamos as respostas de todas as pessoas da cidade.
- Posso usar uma amostra para estimar a proporção de votos para \(A\).
- Quão boa é a estimativa? É precisa?
- Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.
Modo 1
- Cidade com \(N\) pessoas.
- \(X_i = 1\) se a pessoa \(i\) vota em \(A\)
- \(X_i=0\) se a pessoa \(i\) não vota em \(A\).
- \(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_N)\): respostas de toda a população (temos no dia da eleição).
- Média populacional: \[p=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\]
Modo 1
- Variância populacional:
\[\begin{eqnarray} \sigma^2&=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(X_i-p)^2\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(X_i^2-2pX_i+p^2)\\ &=&\frac{\sum_{i=1}^N X_i^2-2p\sum_{i=1}^N X_i+\sum_{i=1}^N p^2}{N}\\ &=&\frac{\sum_{i=1}^N X_i-2p\sum_{i=1}^N X_i+\sum_{i=1}^N p^2}{N}\\ &=&\frac{Np-2pNp+Np^2}{N}=p(1-p) \end{eqnarray}\]
Modo 1
- \(p\) = proporção de pessoas que votam em \(A\) na cidade
- \(\sigma^2=p(1-p)\) é a variância da população.
- Até o dia da eleição, não sabemos \(p\).
- Coletamos uma amostra aleatória de tamanho \(n\) para uma pesquisa eleitoral.
- \(\hat{p}\): proporção de pessoas que votam em \(A\) na amostra.
- Quão boa é a estimativa? É precisa?
- Se outra pessoa também coleta uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula \(\hat{p}\) teremos o mesmo valor?
Modo 1 - Exemplo \(N=5\)
\[\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_5)=(1,0,1,0,1)\]
\[p=\frac{\sum_{i=1}^5X_i}{5}=\frac{3}{5}=0.6\]
\[\begin{eqnarray} \sigma^2&=&\frac{1}{5}\sum_{i=1}^N(X_i-p)^2\\ &=&\frac{3\times(1-0.6)^2+2\times(0-0.6)^2}{5}\\ &=&0.24\\ &=&p(1-p) \end{eqnarray}\]
Modo 1 - Exemplo \(N=5\)
Gráfico de barras (proporção) dos dados populacionais:
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)
| Primeira pessoa | Segunda pessoa | \(\hat{p}\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1.0 |
| 2 | 1 | 0.5 |
| 3 | 1 | 1.0 |
| 4 | 1 | 0.5 |
| 5 | 1 | 1.0 |
| 1 | 2 | 0.5 |
| 2 | 2 | 0.0 |
| 3 | 2 | 0.5 |
| 4 | 2 | 0.0 |
| 5 | 2 | 0.5 |
| 1 | 3 | 1.0 |
| 2 | 3 | 0.5 |
| 3 | 3 | 1.0 |
| 4 | 3 | 0.5 |
| 5 | 3 | 1.0 |
| 1 | 4 | 0.5 |
| 2 | 4 | 0.0 |
| 3 | 4 | 0.5 |
| 4 | 4 | 0.0 |
| 5 | 4 | 0.5 |
| 1 | 5 | 1.0 |
| 2 | 5 | 0.5 |
| 3 | 5 | 1.0 |
| 4 | 5 | 0.5 |
| 5 | 5 | 1.0 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)
Distribuição amostral de \(\hat{p}\):
| \(x\) | \(P(\hat{p}=x)\) |
|---|---|
| 0 | 0.16 |
| 0.5 | 0.48 |
| 1 | 0.36 |
\[\begin{eqnarray} E(\hat{p})&=&0\times 0.16 + 0.5\times 0.48 + 1\times 0.36 = 0.6 = p\\ Var(\hat{p})&=&E[(\hat{p}-p)^2]\\ &=&0.16\times(0-0.6)^2 + 0.48\times(0.5-0.6)^2 + 0.36\times (1-0.6)^2\\ &=&0.12=\frac{0.24}{2}=\frac{p(1-p)}{n} \end{eqnarray}\]
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)
Distribuição amostral de \(\hat{p}\):
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
\(N^n=125\) amostras possíveis.
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\hat{p}\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1.000 |
| 2 | 1 | 1 | 0.667 |
| 3 | 1 | 1 | 1.000 |
| 4 | 1 | 1 | 0.667 |
| 5 | 1 | 1 | 1.000 |
| 1 | 2 | 1 | 0.667 |
| 2 | 2 | 1 | 0.333 |
| 3 | 2 | 1 | 0.667 |
| 4 | 2 | 1 | 0.333 |
| 5 | 2 | 1 | 0.667 |
| 1 | 3 | 1 | 1.000 |
| 2 | 3 | 1 | 0.667 |
| 3 | 3 | 1 | 1.000 |
| 4 | 3 | 1 | 0.667 |
| 5 | 3 | 1 | 1.000 |
| 1 | 4 | 1 | 0.667 |
| 2 | 4 | 1 | 0.333 |
| 3 | 4 | 1 | 0.667 |
| 4 | 4 | 1 | 0.333 |
| 5 | 4 | 1 | 0.667 |
| 1 | 5 | 1 | 1.000 |
| 2 | 5 | 1 | 0.667 |
| 3 | 5 | 1 | 1.000 |
| 4 | 5 | 1 | 0.667 |
| 5 | 5 | 1 | 1.000 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\hat{p}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 26 | 1 | 1 | 2 | 0.667 |
| 27 | 2 | 1 | 2 | 0.333 |
| 28 | 3 | 1 | 2 | 0.667 |
| 29 | 4 | 1 | 2 | 0.333 |
| 30 | 5 | 1 | 2 | 0.667 |
| 31 | 1 | 2 | 2 | 0.333 |
| 32 | 2 | 2 | 2 | 0.000 |
| 33 | 3 | 2 | 2 | 0.333 |
| 34 | 4 | 2 | 2 | 0.000 |
| 35 | 5 | 2 | 2 | 0.333 |
| 36 | 1 | 3 | 2 | 0.667 |
| 37 | 2 | 3 | 2 | 0.333 |
| 38 | 3 | 3 | 2 | 0.667 |
| 39 | 4 | 3 | 2 | 0.333 |
| 40 | 5 | 3 | 2 | 0.667 |
| 41 | 1 | 4 | 2 | 0.333 |
| 42 | 2 | 4 | 2 | 0.000 |
| 43 | 3 | 4 | 2 | 0.333 |
| 44 | 4 | 4 | 2 | 0.000 |
| 45 | 5 | 4 | 2 | 0.333 |
| 46 | 1 | 5 | 2 | 0.667 |
| 47 | 2 | 5 | 2 | 0.333 |
| 48 | 3 | 5 | 2 | 0.667 |
| 49 | 4 | 5 | 2 | 0.333 |
| 50 | 5 | 5 | 2 | 0.667 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\hat{p}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 51 | 1 | 1 | 3 | 1.000 |
| 52 | 2 | 1 | 3 | 0.667 |
| 53 | 3 | 1 | 3 | 1.000 |
| 54 | 4 | 1 | 3 | 0.667 |
| 55 | 5 | 1 | 3 | 1.000 |
| 56 | 1 | 2 | 3 | 0.667 |
| 57 | 2 | 2 | 3 | 0.333 |
| 58 | 3 | 2 | 3 | 0.667 |
| 59 | 4 | 2 | 3 | 0.333 |
| 60 | 5 | 2 | 3 | 0.667 |
| 61 | 1 | 3 | 3 | 1.000 |
| 62 | 2 | 3 | 3 | 0.667 |
| 63 | 3 | 3 | 3 | 1.000 |
| 64 | 4 | 3 | 3 | 0.667 |
| 65 | 5 | 3 | 3 | 1.000 |
| 66 | 1 | 4 | 3 | 0.667 |
| 67 | 2 | 4 | 3 | 0.333 |
| 68 | 3 | 4 | 3 | 0.667 |
| 69 | 4 | 4 | 3 | 0.333 |
| 70 | 5 | 4 | 3 | 0.667 |
| 71 | 1 | 5 | 3 | 1.000 |
| 72 | 2 | 5 | 3 | 0.667 |
| 73 | 3 | 5 | 3 | 1.000 |
| 74 | 4 | 5 | 3 | 0.667 |
| 75 | 5 | 5 | 3 | 1.000 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\hat{p}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 76 | 1 | 1 | 4 | 0.667 |
| 77 | 2 | 1 | 4 | 0.333 |
| 78 | 3 | 1 | 4 | 0.667 |
| 79 | 4 | 1 | 4 | 0.333 |
| 80 | 5 | 1 | 4 | 0.667 |
| 81 | 1 | 2 | 4 | 0.333 |
| 82 | 2 | 2 | 4 | 0.000 |
| 83 | 3 | 2 | 4 | 0.333 |
| 84 | 4 | 2 | 4 | 0.000 |
| 85 | 5 | 2 | 4 | 0.333 |
| 86 | 1 | 3 | 4 | 0.667 |
| 87 | 2 | 3 | 4 | 0.333 |
| 88 | 3 | 3 | 4 | 0.667 |
| 89 | 4 | 3 | 4 | 0.333 |
| 90 | 5 | 3 | 4 | 0.667 |
| 91 | 1 | 4 | 4 | 0.333 |
| 92 | 2 | 4 | 4 | 0.000 |
| 93 | 3 | 4 | 4 | 0.333 |
| 94 | 4 | 4 | 4 | 0.000 |
| 95 | 5 | 4 | 4 | 0.333 |
| 96 | 1 | 5 | 4 | 0.667 |
| 97 | 2 | 5 | 4 | 0.333 |
| 98 | 3 | 5 | 4 | 0.667 |
| 99 | 4 | 5 | 4 | 0.333 |
| 100 | 5 | 5 | 4 | 0.667 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\hat{p}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 101 | 1 | 1 | 5 | 1.000 |
| 102 | 2 | 1 | 5 | 0.667 |
| 103 | 3 | 1 | 5 | 1.000 |
| 104 | 4 | 1 | 5 | 0.667 |
| 105 | 5 | 1 | 5 | 1.000 |
| 106 | 1 | 2 | 5 | 0.667 |
| 107 | 2 | 2 | 5 | 0.333 |
| 108 | 3 | 2 | 5 | 0.667 |
| 109 | 4 | 2 | 5 | 0.333 |
| 110 | 5 | 2 | 5 | 0.667 |
| 111 | 1 | 3 | 5 | 1.000 |
| 112 | 2 | 3 | 5 | 0.667 |
| 113 | 3 | 3 | 5 | 1.000 |
| 114 | 4 | 3 | 5 | 0.667 |
| 115 | 5 | 3 | 5 | 1.000 |
| 116 | 1 | 4 | 5 | 0.667 |
| 117 | 2 | 4 | 5 | 0.333 |
| 118 | 3 | 4 | 5 | 0.667 |
| 119 | 4 | 4 | 5 | 0.333 |
| 120 | 5 | 4 | 5 | 0.667 |
| 121 | 1 | 5 | 5 | 1.000 |
| 122 | 2 | 5 | 5 | 0.667 |
| 123 | 3 | 5 | 5 | 1.000 |
| 124 | 4 | 5 | 5 | 0.667 |
| 125 | 5 | 5 | 5 | 1.000 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
Distribuição amostral de \(\hat{p}\):
| \(x\) | \(P(\hat{p}=x)\) |
|---|---|
| 0 | 0.064 |
| 0.333 | 0.288 |
| 0.667 | 0.432 |
| 1 | 0.216 |
\[\begin{eqnarray} E(\hat{p})&=&0\times 0.064 + 0.333\times 0.288 + 0.667\times 0.432 + 1\times 0.216\\ &=& 0.6 = p\\ Var(\hat{p})&=&E[(\hat{p}-p)^2]\\ &=&0.08=\frac{0.24}{3}=\frac{p(1-p)}{n} \end{eqnarray}\]
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
Distribuição amostral de \(\hat{p}\):
Modo 1
\(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_N)\) é fixo
Amostra aleatória de tamanho \(n\)
\(\hat{p}\) é v.a. (pelo processo de amostragem)
\(E(\hat{p})=p\)
\(Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\)
Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=100\)
\(p=0.6\). Distribuição amostral de \(\hat{p}\):
Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=1000\)
\(p=0.6\). Distribuição amostral de \(\hat{p}\):
Modo 2
Suponha que a resposta de uma pessoa da cidade sobre se vota ou não no candidato \(A\) possa ser representada por uma variável aleatória. \(X\) que assume o valor \(1\) com probabilidade \(p\) ou \(0\) com probabilidade \(1-p\).
\(\begin{aligned} X &\sim Bernoulli(p)\\ \mathbb E(X) &= 1 \times P(X=1) + 0 \times P(X=0) \\ &= 1\times p + 0\times (1-p) = p\\ Var(X) &= \mathbb E[(X - p)^2] \\ &= (1-p)^2 \times P(X=1) + (0 - p)^2 \times P(X=0) \\ &=p(1-p)^2+(1-p)p^2\\ &= p(1-p) \end{aligned}\)
Modo 2 - Exemplo \(n=2\)
Todas as combinações possíveis de amostras com \(n=2\) são:
| Possibilidades | \((X_1 = 1, X_2 = 1)\) | \((X_1 = 1, X_2 = 0)\) | \((X_1 = 0, X_2 = 1)\) | \((X_1=0,X_2=0)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) | 1 | 0.5 | 0.5 | 0 |
| \(P(X_1 = i, X_2 = j)\) | \(p^2\) | \(p(1-p)\) | \((1-p)p\) | \((1-p)^2\) |
\(\displaystyle \mathbb E(\hat{p}) = 1 \times p^2 + 0.5 \times p(1-p) + 0.5 \times (1-p)p + 0\times (1-p)^2= p\)
\(\begin{aligned} Var(\hat{p}) &= \mathbb E[(\hat{p} - p)^2 ] \\ &= (1 - p)^2 \times p^2 + (0.5 - p)^2 p(1-p) + (0.5 - p)^2 (1-p)p + (0 - p)^2 (1-p)^2 \\ &= \frac{p(1-p)}{2} \end{aligned}\)
Note que: \(\displaystyle \mathbb E(\hat{p}) = p = \mathbb E(X)\) e \(\displaystyle Var(\hat{p}) = \frac{Var(X)}{n}\).
Modo 2 - Exemplo \(n=2\)
Gráficos das distribuições de probabilidade de \(X\sim Bernoulli(p=0.6)\) e \(\hat{p}\):
Resultado
Seja \(X\) uma v.a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro \(p\). Sabe-se que \(E(X)=p\) e \(Var(X)=p(1-p)\). Considere uma amostra aleatória \(X_1, X_2,\ldots, X_n\) de \(X\).
A proporção amostral \[\hat{p} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\] tem as seguintes propriedades:
\[\mathbb E (\hat{p}) = p \qquad \mbox{e} \qquad Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}.\]
(propriedade de linearidade da esperança e da variância, esta última em caso de independência)
Ou seja, embora \(p\) seja desconhecido, sabemos que o valor esperado da proporção amostral é \(p\).
Além disso, conforme o tamanho amostral aumenta, a imprecisão de \(\hat{p}\) para estimar \(p\) fica cada vez menor, pois \(Var(\hat{p}) = p(1-p)/n\) é inversamente proporcional ao tamanho amostral \(n\).
Modo 2
\(X_i\sim Bernoulli (p)\) é v.a. (o voto ou não em \(A\) é considerado uma v.a.)
Amostra aleatória de tamanho \(n\)
\(\hat{p}\) é v.a. (é combinação linear de v.a.’s)
\(E(\hat{p})=p\)
\(Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\)
Modo 2 - Exemplo \(n=3\)
Amostra aleatória \(n=3\) de \(X\sim Bernoulli(p=0.6)\).
\(\mathbb E(X) = p = 0.6 \qquad \Rightarrow \qquad \mathbb E (\hat{p}) = 0.6\)
\(Var(X) = p(1 - p) = 0.24 \;\; \Rightarrow \;\; Var(\hat{p}) = \frac{0.24}{3} = 0.08\)
Modo 2 - Exemplo \(n=30\)
\(p=0.6\)
Modo 2 - Exemplo \(n=100\)
\(p=0.6\)
Modo 2 - Exemplo \(n=1000\)
\(p=0.6\)
Resumo dos exemplos
- Modo 1: repostas são “fixas”, com média populacional \(p\) e variância populacional \(p(1-p)\).
- Modo 2: respostas são v.a.’s \(X\sim Bernoulli(p)\), \(E(X)=p\), \(Var(X)=p(1-p)\).
- Em ambos os casos, a partir do momento que retiro uma amostra aleatória de tamanho \(n\), temos as mesmas propriedades e comportamento para a proporção amostral \(\hat{p}\): \(E(\hat{p})=p\) e \(Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\)
E, conforme \(n\) aumenta, vimos nos gráficos que: \(\hat{p}\sim \mathcal{N}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\)
Estimar uma média: Salários
- Quero saber o salário médio das pessoas de uma certa cidade (parâmetro populacional de interesse).
- Posso usar uma amostra e estimar usando a média amostral.
- Quão boa é a estimativa? É precisa?
- Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.
Modo 1
Cidade com \(N\) pessoas.
\(X_i\) é o salário da pessoa \(i\).
\(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_N)\): respostas de toda a população.
Média populacional: \(\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\)
Variância populacional: \(\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(X_i-\mu)^2\)
Modo 1
\(\mu\) = salário médio da população.
\(\sigma^2\) é a variância da população.
Coletamos uma amostra aleatória de tamanho \(n\).
\(\bar{X}\): média salarial na amostra.
Quão boa é a estimativa? É precisa?
Se outra pessoa também coleta uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula \(\bar{X}\) teremos o mesmo valor?
Modo 1 - Exemplo \(N=5\)
\[\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_5)=(1000,2000,3000,4000,5000)\]
\[\mu=\frac{\sum_{i=1}^5X_i}{5}=3000\] \[\sigma^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^N(X_i-\mu)^2=2000000\]
Modo 1 - Exemplo \(N=5\)
Gráfico de barras (proporção) dos dados populacionais:
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)
| Primeira pessoa | Segunda pessoa | \(\bar{X}\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1000 |
| 2 | 1 | 1500 |
| 3 | 1 | 2000 |
| 4 | 1 | 2500 |
| 5 | 1 | 3000 |
| 1 | 2 | 1500 |
| 2 | 2 | 2000 |
| 3 | 2 | 2500 |
| 4 | 2 | 3000 |
| 5 | 2 | 3500 |
| 1 | 3 | 2000 |
| 2 | 3 | 2500 |
| 3 | 3 | 3000 |
| 4 | 3 | 3500 |
| 5 | 3 | 4000 |
| 1 | 4 | 2500 |
| 2 | 4 | 3000 |
| 3 | 4 | 3500 |
| 4 | 4 | 4000 |
| 5 | 4 | 4500 |
| 1 | 5 | 3000 |
| 2 | 5 | 3500 |
| 3 | 5 | 4000 |
| 4 | 5 | 4500 |
| 5 | 5 | 5000 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)
Distribuição amostral de \(\bar{X}\):
| \(x\) | \(P(\bar{X}=x)\) |
|---|---|
| 1000 | 0.04 |
| 1500 | 0.08 |
| 2000 | 0.12 |
| 2500 | 0.16 |
| 3000 | 0.20 |
| 3500 | 0.16 |
| 4000 | 0.12 |
| 4500 | 0.08 |
| 5000 | 0.04 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)
\[\begin{eqnarray} E(\bar{X})&=&3000=\mu\\ Var(\bar{X})&=&E[(\bar{X}-\mu)^2]=10^{6}\\ &=&\frac{2000000}{2}=\frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray}\]
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=2\)
Distribuição amostral de \(\bar{X}\):
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
\(N^n=125\) amostras possíveis.
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\bar{X}\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1000.000 |
| 2 | 1 | 1 | 1333.333 |
| 3 | 1 | 1 | 1666.667 |
| 4 | 1 | 1 | 2000.000 |
| 5 | 1 | 1 | 2333.333 |
| 1 | 2 | 1 | 1333.333 |
| 2 | 2 | 1 | 1666.667 |
| 3 | 2 | 1 | 2000.000 |
| 4 | 2 | 1 | 2333.333 |
| 5 | 2 | 1 | 2666.667 |
| 1 | 3 | 1 | 1666.667 |
| 2 | 3 | 1 | 2000.000 |
| 3 | 3 | 1 | 2333.333 |
| 4 | 3 | 1 | 2666.667 |
| 5 | 3 | 1 | 3000.000 |
| 1 | 4 | 1 | 2000.000 |
| 2 | 4 | 1 | 2333.333 |
| 3 | 4 | 1 | 2666.667 |
| 4 | 4 | 1 | 3000.000 |
| 5 | 4 | 1 | 3333.333 |
| 1 | 5 | 1 | 2333.333 |
| 2 | 5 | 1 | 2666.667 |
| 3 | 5 | 1 | 3000.000 |
| 4 | 5 | 1 | 3333.333 |
| 5 | 5 | 1 | 3666.667 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\bar{X}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 26 | 1 | 1 | 2 | 1333.333 |
| 27 | 2 | 1 | 2 | 1666.667 |
| 28 | 3 | 1 | 2 | 2000.000 |
| 29 | 4 | 1 | 2 | 2333.333 |
| 30 | 5 | 1 | 2 | 2666.667 |
| 31 | 1 | 2 | 2 | 1666.667 |
| 32 | 2 | 2 | 2 | 2000.000 |
| 33 | 3 | 2 | 2 | 2333.333 |
| 34 | 4 | 2 | 2 | 2666.667 |
| 35 | 5 | 2 | 2 | 3000.000 |
| 36 | 1 | 3 | 2 | 2000.000 |
| 37 | 2 | 3 | 2 | 2333.333 |
| 38 | 3 | 3 | 2 | 2666.667 |
| 39 | 4 | 3 | 2 | 3000.000 |
| 40 | 5 | 3 | 2 | 3333.333 |
| 41 | 1 | 4 | 2 | 2333.333 |
| 42 | 2 | 4 | 2 | 2666.667 |
| 43 | 3 | 4 | 2 | 3000.000 |
| 44 | 4 | 4 | 2 | 3333.333 |
| 45 | 5 | 4 | 2 | 3666.667 |
| 46 | 1 | 5 | 2 | 2666.667 |
| 47 | 2 | 5 | 2 | 3000.000 |
| 48 | 3 | 5 | 2 | 3333.333 |
| 49 | 4 | 5 | 2 | 3666.667 |
| 50 | 5 | 5 | 2 | 4000.000 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\bar{X}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 51 | 1 | 1 | 3 | 1666.667 |
| 52 | 2 | 1 | 3 | 2000.000 |
| 53 | 3 | 1 | 3 | 2333.333 |
| 54 | 4 | 1 | 3 | 2666.667 |
| 55 | 5 | 1 | 3 | 3000.000 |
| 56 | 1 | 2 | 3 | 2000.000 |
| 57 | 2 | 2 | 3 | 2333.333 |
| 58 | 3 | 2 | 3 | 2666.667 |
| 59 | 4 | 2 | 3 | 3000.000 |
| 60 | 5 | 2 | 3 | 3333.333 |
| 61 | 1 | 3 | 3 | 2333.333 |
| 62 | 2 | 3 | 3 | 2666.667 |
| 63 | 3 | 3 | 3 | 3000.000 |
| 64 | 4 | 3 | 3 | 3333.333 |
| 65 | 5 | 3 | 3 | 3666.667 |
| 66 | 1 | 4 | 3 | 2666.667 |
| 67 | 2 | 4 | 3 | 3000.000 |
| 68 | 3 | 4 | 3 | 3333.333 |
| 69 | 4 | 4 | 3 | 3666.667 |
| 70 | 5 | 4 | 3 | 4000.000 |
| 71 | 1 | 5 | 3 | 3000.000 |
| 72 | 2 | 5 | 3 | 3333.333 |
| 73 | 3 | 5 | 3 | 3666.667 |
| 74 | 4 | 5 | 3 | 4000.000 |
| 75 | 5 | 5 | 3 | 4333.333 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\bar{X}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 76 | 1 | 1 | 4 | 2000.000 |
| 77 | 2 | 1 | 4 | 2333.333 |
| 78 | 3 | 1 | 4 | 2666.667 |
| 79 | 4 | 1 | 4 | 3000.000 |
| 80 | 5 | 1 | 4 | 3333.333 |
| 81 | 1 | 2 | 4 | 2333.333 |
| 82 | 2 | 2 | 4 | 2666.667 |
| 83 | 3 | 2 | 4 | 3000.000 |
| 84 | 4 | 2 | 4 | 3333.333 |
| 85 | 5 | 2 | 4 | 3666.667 |
| 86 | 1 | 3 | 4 | 2666.667 |
| 87 | 2 | 3 | 4 | 3000.000 |
| 88 | 3 | 3 | 4 | 3333.333 |
| 89 | 4 | 3 | 4 | 3666.667 |
| 90 | 5 | 3 | 4 | 4000.000 |
| 91 | 1 | 4 | 4 | 3000.000 |
| 92 | 2 | 4 | 4 | 3333.333 |
| 93 | 3 | 4 | 4 | 3666.667 |
| 94 | 4 | 4 | 4 | 4000.000 |
| 95 | 5 | 4 | 4 | 4333.333 |
| 96 | 1 | 5 | 4 | 3333.333 |
| 97 | 2 | 5 | 4 | 3666.667 |
| 98 | 3 | 5 | 4 | 4000.000 |
| 99 | 4 | 5 | 4 | 4333.333 |
| 100 | 5 | 5 | 4 | 4666.667 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
| Pessoa amostrada 1 | Pessoa amostrada 2 | Pessoa amostrada 3 | \(\bar{X}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 101 | 1 | 1 | 5 | 2333.333 |
| 102 | 2 | 1 | 5 | 2666.667 |
| 103 | 3 | 1 | 5 | 3000.000 |
| 104 | 4 | 1 | 5 | 3333.333 |
| 105 | 5 | 1 | 5 | 3666.667 |
| 106 | 1 | 2 | 5 | 2666.667 |
| 107 | 2 | 2 | 5 | 3000.000 |
| 108 | 3 | 2 | 5 | 3333.333 |
| 109 | 4 | 2 | 5 | 3666.667 |
| 110 | 5 | 2 | 5 | 4000.000 |
| 111 | 1 | 3 | 5 | 3000.000 |
| 112 | 2 | 3 | 5 | 3333.333 |
| 113 | 3 | 3 | 5 | 3666.667 |
| 114 | 4 | 3 | 5 | 4000.000 |
| 115 | 5 | 3 | 5 | 4333.333 |
| 116 | 1 | 4 | 5 | 3333.333 |
| 117 | 2 | 4 | 5 | 3666.667 |
| 118 | 3 | 4 | 5 | 4000.000 |
| 119 | 4 | 4 | 5 | 4333.333 |
| 120 | 5 | 4 | 5 | 4666.667 |
| 121 | 1 | 5 | 5 | 3666.667 |
| 122 | 2 | 5 | 5 | 4000.000 |
| 123 | 3 | 5 | 5 | 4333.333 |
| 124 | 4 | 5 | 5 | 4666.667 |
| 125 | 5 | 5 | 5 | 5000.000 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
Distribuição amostral de \(\bar{X}\):
| \(x\) | \(P(\bar{X}=x)\) |
|---|---|
| 1000 | 0.008 |
| 1333.333 | 0.024 |
| 1666.667 | 0.048 |
| 2000 | 0.080 |
| 2333.333 | 0.120 |
| 2666.667 | 0.144 |
| 3000 | 0.152 |
| 3333.333 | 0.144 |
| 3666.667 | 0.120 |
| 4000 | 0.080 |
| 4333.333 | 0.048 |
| 4666.667 | 0.024 |
| 5000 | 0.008 |
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
\[\begin{eqnarray} E(\bar{X})&=&3000=\mu\\ Var(\bar{X})&=&E[(\bar{X}-\mu)^2]=6.6666668\times 10^{5}\\ &=&\frac{2000000}{3}=\frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray}\]
Modo 1 - Exemplo \(N=5\) e \(n=3\)
Distribuição amostral de \(\bar{X}\):
Modo 1
\(\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_N)\) é fixo
Amostra aleatória de tamanho \(n\)
\(\bar{X}\) é v.a.
\(E(\bar{X})=\mu\)
\(Var(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)
Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=100\)
\(\mu=3000\). Distribuição amostral de \(\bar{X}\):
Modo 1 - Exemplo \(N=1000000\) e \(n=1000\)
\(\mu=3000\). Distribuição amostral de \(\bar{X}\):
Modo 2
Suponha que o salário de uma pessoa possa ser representado por uma variável aleatória uniforme discreta assumindo os valores 1000, 2000, 3000, 4000 ou 5000.
\(\begin{aligned} \mu=\mathbb E(X) &= \frac{1000+2000+3000+4000+5000}{5}=3000 \\ \sigma^2=Var(X) &= \frac{1}{5}[(1000-3000)^2+(2000-3000)^2+(3000-3000)^2\\ &+(4000-3000)^2+(5000-3000)^2]\\ &= 2000000 \end{aligned}\)
Modo 2
Distribuição da variável \(X\) (do salário de cada indivíduo da população):
Modo 2 - Exemplo \(n=2\)
\(\displaystyle \mathbb E(\bar{X}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb E (X_i)= E(X)=\mu=3000\)
\(\begin{aligned} Var(\bar{X}) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Var (X_i)= \frac{Var(X)}{n}=\frac{\sigma^2}{n}=1000000\\ \end{aligned}\)
(propriedades de linearidade da esperança e variância (a.a.))
Resultado
Seja \(X\) uma v.a. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\) e \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) uma amostra aleatória de \(X\).
A média amostral \[\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\] tem as seguintes propriedades:
\[\mathbb E (\bar X_n) = \mu \qquad \mbox{e} \qquad Var(\bar X_n) = \frac{\sigma^2}{n}.\]
(propriedade de linearidade da esperança e da variância, esta última em caso de independência)
Ou seja, embora \(\mu\) seja desconhecido, sabemos que o valor esperado da média amostral é \(\mu\).
Além disso, conforme o tamanho amostral aumenta, a imprecisão da média amostral para estimar \(\mu\) fica cada vez menor, pois \(Var(\bar X) = \sigma^2/n\) é inversamente proporcional ao tamanho amostral \(n\).
Modo 2 - Exemplo \(n=30\)
Modo 2 - Exemplo \(n=100\)
Modo 2 - Exemplo \(n=1000\)
Resultados
Temos uma população com média (proporção) \(\mu\) (\(p\)) e variância \(\sigma^2\) desconhecida.
Retira-se uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula-se a média (ou proporção) amostral \(\bar{X}\) (ou \(\hat{p}\)) para estimar o parâmetro populacional desconhecido \(\mu\) (ou \(p\)).
Temos as propriedades:
\[E(\bar{X})=\mu \quad \quad Var(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\]
\[E(\hat{p})=p\quad \quad Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\]
E, conforme \(n\) aumenta, pelos gráficos, parece que a distribuição amostral de \(\bar{X}\) e \(\hat{p}\) se aproxima da normal:
\[\bar{X}\sim \mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \quad \hat{p}\sim \mathcal{N}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\]
Para uma amostra aleatória de tamanho \(n\) a partir de uma população:
com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\)
\(\bar X\): \(\mathbb E(\bar X) = \mu\) e \(Var(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n}\). Erro padrão: \(EP(\bar{X})=\sqrt{Var(\bar X)}=\sigma/\sqrt{n}\).
com proporção populacional \(p\)
\(\hat{p}\): \(\mathbb E(\hat{p}) = p\) e \(Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}\). Erro padrão: \(EP(\hat{p})=\sqrt{Var(\hat p)}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).
No exemplos, vimos também a distribuição amostral de \(\bar X\) ou \(\hat{p}\), mas isso só foi possível porque tínhamos informação de todos os valores possíveis na população.
Os exemplos anteriores foram casos hipotéticos apenas para ilustrar como \(\bar X\) e \(\hat{p}\) se comportam quando realizamos a amostragem.
Na prática, não teremos informações suficientes para de fato descrevermos a distribuição amostral exata de \(\bar X\) e \(\hat{p}\) (se tivermos, nem é preciso fazer amostragem!)
Teorema do Limite Central
Resultado
- Para uma amostra aleatória \(X_1, \ldots ,X_n\) coletada de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\)
- a distribuição amostral de \(\bar X\) aproxima-se de uma distribuição Normal de média \(\mu\) e variância \(\frac{\sigma^{2}}{n}\), quando \(n\) for suficientemente grande:
\[\bar{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)\]
\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\]
Obs: o resultado vale para \(\hat{p}\), com \(\mu=p\) e \(\sigma^2=p(1-p)\).
Teorema do Limite Central
Exemplo - Transistor
Suponha que \(X\) denota o tempo de vida de um transistor (em horas) e seu comportamento pode ser representado por uma distribuição Exponencial, tal que \(X \sim Exp(2)\), ou seja: \[f_{X}(x) = 2e^{-2x}, \qquad \mbox{para } x \geq 0.\]
Sabemos que:
\(\mathbb E(X) = \frac{1}{2}\)
\(Var(X) = \frac{1}{4}\)
Exemplo - Transistor
Os tempos de vida de 100 transistores escolhidos ao acaso são coletados e a média dos tempos é calculada, denotada por \(\bar X_{100}\).
Desejamos estudar a variável aleatória \(\bar X_{100}\).
Sabemos que: \[\mathbb E(\bar X_{100}) = \frac{1}{2} \mbox{ e } Var(\bar X_{100}) = \frac{1/4}{100} = \frac{1}{400}\]
Então, pelo TLC:
\[\displaystyle \bar X_{100}\sim N \left(\frac{1}{2},\frac{1}{400}\right).\]
Exemplo - lançamento de dados
\(X=\) resultado obtido no lançamento de um dado honesto.
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)=P(X=x)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
\(\mathbb E(X) = \frac{1}{6}\times(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5\)
\(Var(X) = \frac{1}{6}[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+\ldots+(6-3.5)^2] = \frac{17.5}{6} = 2.92\)
- \(X_i\): resultado do \(i\)-ésimo lançamento de um dado honesto.
- \(X_i\) tem distribuição uniforme discreta.
- \(\mu = \mathbb E(X_i) = 3.5 \qquad\) e \(\qquad \sigma^2 = Var(X_i) = 2.92\)
Exemplo - lançamento de dados
Se temos uma amostra aleatória de tamanho \(n\): \(X_1,X_2,\ldots, X_n\), pelo TLC sabemos que a distribuição amostral de \(\bar X\) é Normal\(\left( 3.5, \frac{2.92}{n} \right)\) para \(n\) grande.
O primeiro histograma a seguir mostra o resultado de 100000 repetições do seguinte experimento: observar o resultado do lançamento de 1 dado. Repare que é muito próximo de uma distribuição uniforme discreta (chance 1/6 para cada resultado), que é a distribuição de \(X\).
O segundo histograma mostra o resultado de 100000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 2 dados.
O último histograma mostra o resultado de 100000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 100 dados.
Repare que conforme o número de dados lançados (tamanho amostral) aumenta, a distribuição da média amostral se aproxima da distribuição normal com média 3.5 e variância cada vez menor (2.92/n).
Exemplo - lançamento de dados
Exemplo - lançamento de dados
Exemplo - lançamento de dados
Exemplo - lançamento de dados
Exemplo - lançamento de dados
Exemplo - lançamento de dados
Teorema do Limite Central (TLC)
Você pode verificar o comportamento de \(\bar X\) para várias distribuições de \(X\):
Aproximação da Binomial pela Normal
Se \(\quad \widehat p = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}=\frac{S_n}{n} \quad \Longrightarrow \quad S_n = n\widehat p\).
Quando \(n\) é grande o suficiente: \(\quad \widehat p \sim N \left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\)
Nesse caso, qual a distribuição de \(S_n\)?
Vimos que \(S_n = X_1 + \ldots + X_n \sim Bin(n, p)\)
Pelas propriedades da distribuição Normal: \[S_n = n \widehat p \sim N \left(np, np(1-p) \right)\]
Portanto, quando \(n\) é grande, \(Bin(n, p) \approx N \left(np, np(1-p) \right)\)
Fundamentos de Inferência
Introdução
Um dos principais objetivos da Estatística é tirar conclusões a partir dos dados.
Dados em geral consistem de uma amostra de elementos de uma população de interesse.
Usar a amostra para tirar conclusões sobre a população.
Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?
Introdução
População: todos os elementos ou resultados de um problema que está sendo estudado.
Amostra: subconjunto da população de interesse.
Inferência Estatística
Variável: Característica numérica do resultado de um experimento.
Parâmetros: Característica numérica (desconhecida) da distribuição dos elementos da população.
Estimador/Estatística: Função da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar um parâmetro de interesse na população.
Estimativa: Valor numérico que um estimador assume para uma dada amostra.
Erro amostral: é a diferença entre um estimador e o parâmetro que se quer estimar.
Inferência Estatística
Estatística
Seja \(X_{1},...,X_{n}\) uma amostra e \[T = f(X_{1}, \ldots, X_{n})\] é uma estatística.
Exemplos:
- \(\bar X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\frac{1}{n}(X_{1}+...+X_{n})\)
- \(X_{(1)}=min\{X_{1},...,X_{n}\}\) ou \(X_{(n)}=max\{X_{1},...,X_{n}\}\)
- \(X_{(i)}\) é o i-ésimo valor da amostra ordenada
Note que uma estatística é uma função que em uma determinada amostra assume um valor específico (estimativa).
Estatística
Para que serve uma estatística?
Para “estimar” características de uma população.
População:
- Média \(\mu\)
- Proporção \(p\)
Amostra:
- Média Amostral \(\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)
- Proporção Amostral \(\hat{p}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)
Exemplo
Temos interesse em saber a média e a variância da altura dos brasileiros: \(\mu\) e \(\sigma^2\).
Solução 1: Medir a altura de todos os brasileiros.
Solução 2: Selecionar de forma aleatória alguns brasileiros (amostra), analisá-la e inferir propriedades para toda a população.
Parâmetro
- Cada quantidade de interesse (como \(\mu\) e \(\sigma^2\) no exemplo anterior) é chamada de parâmetro da população.
- Para apresentar uma estimativa de um parâmetro (\(\widehat \mu\) e \(\hat{\sigma}^2\)), devemos escolher uma estatística (\(T\)).
- Note que da maneira que o plano amostral foi executado (amostra aleatória), a estatística \(T\) é uma variável aleatória, visto que cada vez que executarmos o plano amostral poderemos obter resultados diversos.
- Portanto, a estatística \(T\) possui uma distribuição de probabilidade, chamada de distribuição amostral de T.
Leituras
Slides produzidos pelos professores:
Samara Kiihl
Tatiana Benaglia
Larissa Matos
Benilton Carvalho
