Dizemos que uma v.a. \(X\) possui distribuição normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^{2}\), \(\mu \in \mathbb{R}\) e \(\sigma^{2}>0\), se a f.d.p. \(f_{X}\) é dada por:

\[f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp \left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right], \qquad -\infty < x < \infty.\]

Notação: \(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\).

Distribuição mais importante da Estatística. Também conhecida como distribuição Gaussiana.

A esperança e variância de uma v.a. \(X \sim N(\mu,\sigma^{2})\) são:

\[\mathbb E(X)=\mu \qquad \mbox{e} \qquad Var(X)=\sigma^2.\]

Esperança: \[\mathbb E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right]dx=\mu.\]

Variância: \[ \begin{aligned} Var(X) & = \mathbb E([X - \mathbb E(X)]^{2}) \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right]dx \\ &=\sigma^{2}. \end{aligned} \]

OkCupid é uma rede social para relacionamentos.

Usuários devem colocar características pessoais como, por exemplo, altura.

Será que são sinceros?

Comparação da distribuição das alturas da população adulta norte-americana e a distribuição das alturas dos usuários do site:

Fonte: http://blog.okcupid.com/index.php/the-biggest-lies-in-online-dating/

Propriedade: Se \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\), então \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1).\]

Dizemos que \(Z\) tem distribuição Normal Padrão e sua densidade se reduz a: \[\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}, \qquad -\infty < z < \infty.\]

A f.d.a. de uma Normal padrão, que denotaremos por \(\Phi\), é: \[\Phi(z)=P(Z\leq z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt.\]

Uma universidade americana recebeu inscrição de dois alunos (Pam e Jim) com os respectivos históricos escolares. No entanto, Pam realizou o SAT e tirou 1800, enquanto que o Jim fez o ACT e tirou 24. Como a universidade pode comparar os dois alunos, baseando-se nesses testes?

Precisamos avaliar quão melhor (ou pior) a Pam foi em relação aos demais alunos que realizaram o SAT.

Precisamos avaliar quão melhor (ou pior) o Jim foi em relação aos demais alunos que realizaram o ACT.

A universidade tem acesso à média (1500) e ao desvio-padrão (300) das notas de todos os alunos que realizaram o SAT juntamente com a Pam.

A universidade tem acesso à média (21) e ao desvio-padrão (5) das notas de todos os alunos que realizaram o ACT juntamente com a Jim.

Assumindo que as notas dos dois testes seguem uma distribuição normal:

Seja \(X\) uma v.a. representando a nota no SAT: \(X\sim N(\mu=1500,\sigma^2=300^2)\).

Seja \(Y\) uma v.a. representando a nota no ACT: \(Y\sim N(\mu=21,\sigma^2=5^2)\).

Seja \(X\) uma v.a. representando a nota no SAT: \(X\sim N(\mu=1500,\sigma^2=300^2)\).

Padronizando a v.a. das notas do SAT: \(Z_1=\frac{X-1500}{300}\sim N(0,1)\).

Padronizando a nota da Pam: \(\frac{1800-1500}{300}=1.\)

Seja \(Y\) uma v.a. representando a nota no ACT: \(Y \sim N(\mu=21,\sigma^2=5^2)\).

Padronizando a v.a. das notas do ACT: \(Z_2=\frac{Y-21}{5}\sim N(0,1)\).

Padronizando a nota do Jim: \(\frac{24-21}{5}=0.6\,.\)

Para calcular as probabilidades, precisamos usar a f.d.a. de \(Z \sim N(0,1)\)

\[\Phi(z)=P(Z\leq z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt,\] que não tem forma fechada, pois \(e^{-t^2}\) não tem antiderivada.

Contudo, os valores para \(Z \sim N(0,1)\) e \(\phi(z)\) encontram-se tabelados.

Tudo o que precisamos fazer é transformar a variável em \(N(0,1)\) e usar os valores tabelados. Ou seja, para \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\), temos: \[F_X(a)=P(X \leq a)= P\left(\underbrace{\frac{X-\mu}{\sigma}}_{Z} \leq \frac{a-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).\]

Seja \(Z\sim\mbox{Normal}(0,1)\), com f.d.a. \(\Phi\): \[\Phi(z)=P(Z\leq z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt.\] Então,

• \(\Phi(0)=0.5\),

• \(\Phi(-\infty)=0\),

• \(\Phi(\infty)=1\),

• Por simetria: \[\begin{aligned} \Phi(x) &= P(Z< x)= P(Z> -x) \\ &=1-P(Z<-x)=1-\Phi(-x). \end{aligned}\]

Exercitando com a tabela da Normal:

\(\Phi(0.2)=0.5793\)

\(\Phi(0.45)=0.6736\)

\(\Phi(1.28)= 0.8997\)

\(\begin{aligned} \Phi(-0.45) &= 1-\Phi(0.45) \\ & = 0.3264 \end{aligned}\)

Recorde que se \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), então \(\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\).

Neste problema, sabemos que \(\mu = 10\) e \(\sigma^2 = 4\), logo \(\sigma = 2\). Então, \[Z=\frac{(X-10)}{2} \sim N(0,1).\]

Devemos transformar \(X\) de modo que o evento \(8<X<10\) permaneça inalterado. Fazemos isso transformando todos os lados da inequação:

\[ \begin{aligned} 8<X<10 &\Leftrightarrow 8-10 < X-10 < 10-10 \\ & \Leftrightarrow \frac{8-10}{2} < \frac{X-10}{2} < \frac{10-10}{2} \\ &\Leftrightarrow -1 < Z < 0 \end{aligned} \]

Então, \(P(8 < X < 10) = P(-1 < Z < 0)\).

O valor \(\varPhi(0)\) está disponível na tabela e é igual a \(0.5\).

Para obtermos \(\varPhi(-1)\), devemos usar a simetria da função \(\varPhi\) em torno do zero: \[\varPhi(-z) = 1-\varPhi(z).\]

A tabela nos dá \(\varPhi(1) = 0.8413 \quad \Rightarrow \quad \varPhi(-1) = 1-0.8413 = 0.1587\,.\)

Concluimos portanto que \[ \begin{aligned} P(8<X<10) &= P(-1<Z<0) \\ &= \varPhi(0)-\varPhi(-1) \\ &= 0.5 - 0.1587 = 0.3413\,. \end{aligned} \]

\(\begin{aligned} 2. \; P(9 \leq X \leq 12) & = P\left(\frac{9-10}{2} \leq \frac{X-10}{2} \leq \frac{12-10}{2}\right) \\ & = P(-1/2 \leq Z \leq 1) = 0.5328\,. \end{aligned}\)

\(\displaystyle 3. \; P(X>10) = P\left(\frac{X-10}{2} > \frac{10-10}{2}\right) = P(Z>0) = 0.5\,.\)

\(\begin{aligned} 4. \; P(X < 8 \mbox{ ou } X > 11) & = P(X < 8) + P(X > 11) \\ &= P\left(\frac{X-10}{2} < \frac{8-10}{2}\right) + P\left(\frac{X-10}{2} > \frac{11-10}{2}\right) \\ &= P(Z<-1) + P(Z>1/2) \\ &= 0.1586 + 0.3085 = 0.4671\,. \end{aligned}\)

Exemplo: Se \(X \sim N(4,3^{2})\), calcule \(P(X \leq 7)\) e \(P(1 < X \leq 7)\).

\(\begin{aligned} P(X \leq 7) &= P\left(\frac{X-4}{3} \leq \frac{7-4}{3}\right) \\ &= P(Z\leq 1)= \Phi(1)=0.8413\,. \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} P(1 < X \leq 7) &= P\left(\frac{1-4}{3}<\frac{X-4}{3}\leq \frac{7-4}{3}\right) \\ &=P(-1<Z\leq 1) \\ &=\Phi(1)-\Phi(-1) \\ &=\Phi(1)-[1-\Phi(1)] \\ &=2\Phi(1)-1=2\times0.8413-1=0.6826\,. \end{aligned}\)

Como \(QI \sim N(100, 15^2)\), pela regra empírica:

\(68.3\%\) da população: \(85 \leq QI \leq 115\)

\(95\%\) da população: \(70 \leq QI \leq 130\)

\(99.7\%\) da população: \(55 \leq QI \leq 145\)

Seja \(X \sim Bin(n, p)\). Se \(n\) é suficientemente grande, a distribuição de \(X\) pode ser aproximada pela distribuição normal, isto é,

\[X \sim N(np, np(1-p)).\]

Exemplo: Se \(X \sim Bin(100, 0.7)\), podemos usar a aproximação \(X \sim N(70, 21)\).

Exemplo: Seja \(X\) o número de vezes que uma moeda honesta resulta em cara quando é lançada \(40\) vezes. Então, \[X \sim Bin(40, 0.5).\]

Encontre \(P(X=20)\) usando a fórmula exata e a aproximação normal.

• Binomial:

\[P(X=20) = {40 \choose 20}(0.5)^{20}(0.5)^{20} = 0.125\,.\]

• Normal:

\[P(X=20) \approx P(19.5 < X \leq 20.5) = 0.1256\,.\]

Exemplo: \(X \sim Bin(40, 0.5).\)

1. Para qualquer v.a. \(X\) e constantes \(a\) e \(b\): \[\mathbb E(aX + b) = a \mathbb E(X) + b.\]

   Casos particulares:
   • \(\mathbb E(X+b) = \mathbb E(X) + b\),
   • \(\mathbb E(aX) = a \mathbb E(X)\).

2. Se \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) são variáveis aleatórias: \[ \mathbb E\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \mathbb E(X_i).\]

1. Para qualquer v.a. \(X\) e constantes \(a\) e \(b\): \[Var(aX + b) = a^2Var(X).\]

   Casos particulares:
   • \(Var(X+b) = Var(X)\),
   • \(Var(aX) = a^2 Var(X)\).

2. Se \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) são variáveis aleatórias independentes: \[ Var \left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n Var(X_i).\]

Se adicionarmos ou multiplicarmos uma constante a uma v.a. com distribuição Normal, a v.a. resultante continua tendo distribuição normal. Ou seja,

\[X \sim N(\mu,\sigma^2) \qquad \Longrightarrow \qquad aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2).\]

Isso explica que: \[X \sim N(\mu,\sigma^2) \qquad \Longleftrightarrow \qquad Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).\]

Se \(X\) e \(Y\) são v.a.'s independentes, tal que \(X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)\) e \(Y\sim N(\mu_y,\sigma_y^2),\) então \[X+Y\sim N(\mu_x+\mu_y,\sigma_x^2+\sigma_y^2).\]