• Variáveis aleatórias discretas: v.a. com valores possíveis enumeráveis. Soma das probabilidades de todos os valores possíveis igual a \(1\).

• Variáveis aleatórias contínuas: v.a. com valores possíveis em um intervalo no conjunto de números reais.

• Exemplo: tempo para finalizar um experimento, peso de uma pessoa, duração de uma chamada telefônica, tempo de vida de uma lâmpada, etc…

• Para esses tipos de quantidades, não é possível associar frequências pontuais tais que a soma de todas seja igual a 1.

• Surge então o conceito de "função de densidade de probabilidade" (f.d.p.).

• Para cada v.a. contínua, associamos uma função de densidade de probabilidade.

Definição: a função de densidade de probabilidade de uma v.a. \(X\) é uma função \(f\) que verifica:

• \(f(x)\geq0, \quad \forall x\in \mathbb{R}\); e

• \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\) (\(f\) é integrável).

Toda v.a. \(X\) à qual seja possível associar uma função de densidade de probabilidade será chamada de v.a. contínua.

Notação: se \(X\) v.a. contínua com função de densidade de probabilidade \(f\), no lugar de \(f\) denotaremos \(f_{X}\).

A probabilidade de que uma v.a. \(X\) contínua pertença ao intervalo da reta
(\(-\infty,x\)] daremos o nome de função de distribuição acumulada (f.d.a.), e a denotaremos por \(F_{X}\) \[F_{X}(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(u)du.\]

Exemplo: \(X\) v.a. contínua com função de densidade:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & 0\leq x < 1, \\ 2-x & 1 \leq x \leq 2, \\ 0 & \mbox{caso contrário.} \\ \end{array} \right.\]

Pela definição de função de densidade:

\(f_{X}(x) \geq 0, \quad \forall \, x \in \mathbb R\)

\(\displaystyle \int_{0}^{2}f_{X}(x)dx= \int_{0}^{1}xdx + \int_{1}^{2}(2-x)dx =1\,.\)

Podemos também calcular \(\displaystyle P(0<X\leq 0.8) = \int_{0}^{0.8}xdx=0.32\,.\)

Propriedade: toda v.a. \(X\) contínua (ou seja, que possui \(f_{X}\) como função de densidade) tem probabilidade pontual nula: \(\, P(X=x)=0\).

A função de distribuição acumulada \(F_{X}(x)=P(X\leq x)\):

• caso discreto: \[F_{X}(x)=P(X \leq x)=\sum_{x_{i}\leq x}P(X=x_{i});\]

• caso contínuo: \[F_{X}(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f_{X}(u)du.\]

Uma função de densidade de probabilidade deve satisfazer as seguintes propriedades:

1. \(f_{X}(x)\geq0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\); e

2. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) dx = 1\).

Note que \(e^{-x}\) é positiva para qualquer \(x\) e, consequentemente, \(2e^{-2x}\) também.

Resta mostrar que sua integral é 1:

\[ \int 2e^{-2x} dx = -e^{-2x}.\]

1. Note que a função está definida nesta forma para \(x \geq 0\); para \(x<0\), ela é 0.

   Então, a integral é:

   \[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) dx &= \int_{-\infty}^0 0 dx + \int_0^{\infty} 2e^{-2x} dx \\ &= \left [ -e^{-2x} \right ] _{0}^{\infty} \\ &= \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{-0} \right) = 1. \end{aligned}\]

2. A probabilidade é dada por: \[P(X>10) = \int_{10}^{\infty} 2e^{-2x} dx = \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{-2 \times 10} \right) = \frac{1}{e^{20}}.\]

Definição: seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), a esperança de \(X\) é dada por: \[\mathbb E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x \, f_{X}(x)dx \,.\]

Definição: seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), o \(k\)-ésimo momento de \(X\) é dado por:

\[\mathbb E(X^k) = \int_{-\infty}^{\infty}x^k \, f_{X}(x)dx \,.\]

Definição: seja \(X\) v.a. com valor esperado \(\mathbb E(X)\), definimos por variância, a quantidade:

\[Var(X) = \mathbb E([X - \mathbb E(X)]^2) = \mathbb E(X^2) - [\mathbb E(X)]^2\,.\]

E definimos como desvio-padrão: \[\sigma = \sqrt{Var(X)}\,.\]

Note que assim como no caso discreto, ambas as quantidades oferecem medidas de dispersão da variável \(X\) em relação ao valor esperado \(\mathbb E(X)\).

Para a função \(f_{X}\) seguinte, calcular \(\mathbb E(X)\) e \(Var(X)\):

\[f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & 0\leq x < 1, \\ 2-x & 1 \leq x \leq 2, \\ 0 & \mbox{caso contrário}. \\ \end{array} \right.\]

Solução:

\(\displaystyle \mathbb E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf_{X}(x)dx = \int_{0}^{1}x^{2}dx+ \int_{1}^{2}x(2-x)dx = 1,\)

\(\displaystyle Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty}[x - \mathbb E(X)]^{2}f_{X}(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty}(x-1)^2f_{X}(x)dx = \frac{1}{6}.\)

Calcule a esperança, a variância e a f.d.a. da variável aleatória \(X\) com a densidade triangular em \([0,1]\).

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 171.

Temos que,

\[ \begin{aligned} \mathbb E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \!\! x f_{X}(x) dx = \int_0^{1/2} \! x4xdx + \int_{1/2}^{1} \! x4(1-x)dx\\ & = \left[ \frac{4x^3}{3} \right]_0^{1/2} + \left[ \frac{2}{3} x^2(3-2x) \right]_{1/2}^{1} = \frac{1}{2}. \end{aligned} \]

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua é dada por \[F_{X}(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt.\]

Temos que para \(x \in [0,1/2)\), \(F_{X}(x)\) é dada por \[F_{X}(x) = \int_0^x 4t dt = 2x^2.\]

Para \(x \in [1/2,1]\), a acumulada é dada por \[F_{X}(x) = \int_0^{1/2} 4t dt + \int_{1/2}^x 4(1-t)dt = -2x^2 + 4x -1.\]

• Dizemos que a v.a. \(X\) tem distribuição Uniforme no intervalo \([a,b]\), \(a<b\) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b, \\ 0 & \mbox{caso contrário.} \\ \end{array} \right.\]

• Notação: \(X \sim U[a,b]\) ou \(X \sim U(a,b)\).

• Cálculo da função de distribuição acumulada:

\[ F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < a, \\ \int_{a}^{x}\frac{1}{b-a}dt=\frac{x-a}{b-a} & a \leq x \leq b, \\ 1 & x > b. \\ \end{array} \right.\]

• Cálculo da \(\mathbb E(X)\):

\[\mathbb E(X) = \int_{a}^{b}x\frac{1}{(b-a)}dx=\frac{(b+a)}{2}.\]

• Cálculo da \(Var(X)\):

\[\mathbb E(X^{2}) = \int_{a}^{b}x^{2}\frac{1}{(b-a)}dx = \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3},\]

\[\begin{aligned} Var(X) & = \mathbb E(X^{2}) - [\mathbb E(X)]^{2} \\ &= \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3}-\frac{(b+a)^{2}}{4}= \frac{(b-a)^{2}}{12}. \end{aligned}\]

Lembre-se que a esperança de uma v.a. uniforme em \([a,b]\) é dada por \[\mathbb E(X) = \frac{a+b}{2},\] e sua variância por \[\mbox{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.\]

Temos, portanto, o seguinte sistema:

\[ \left\{ \begin{array}{lcr} \frac{a+b}{2} &=& 15 \\ \frac{(b-a)^2}{12} &=& \frac{25}{3} \\ \end{array} \right. \qquad \Longrightarrow \qquad \left\{ \begin{array}{lcr} a+b &=& 30 \\ (b-a)^2 &=& 100 \\ \end{array} \right. \]

Ou simplesmente (você é capaz de dizer por que tomamos a raiz positiva apenas, neste sistema não-linear?)

\[ \left\{ \begin{array}{ccr} a + b & = & 30 \\ b - a & = & 10 \\ \end{array} \right. \]

O sistema tem solução \(a=10\), \(b=20\), o que nos mostra que \(X \sim U[10,20]\) e

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{10}, & 10 \leq x \leq 20; \\ 0, & \mbox{caso contrário.} \\ \end{array} \right.\]

Então, a probabilidade de \(X>14\) é dada por \[P(X>14) = \int_{14}^{20}\frac{1}{10}dx = \frac{(20-14)}{10} = 0.6\,.\]

• Dizemos que uma v.a. \(X\) possui distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda\) (\(\lambda>0\)) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0, \\ 0 & \mbox{caso contrário.} \\ \end{array} \right.\]

• Notação: \(X \sim Exp(\lambda)\).

• Cálculo da função de distribuição acumulada:

\[ F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt=1-e^{-\lambda x} & x \geq 0, \\ 0 & \mbox{caso contrário.} \\ \end{array} \right.\]

• Cálculo da \(\mathbb E(X)\):

\[\mathbb E(X)=\int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}\,.\]

• Cálculo da \(Var(X)\):

\[\mathbb E(X^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{\lambda^{2}},\]

\[Var(X) = \mathbb E(X^{2}) - [\mathbb E(X)]^{2} = \frac{2}{\lambda^{2}} - \frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{1}{\lambda^{2}}\,.\]

Sabemos que se \(X \sim Exp(\lambda)\), então \[F_{X}(x) = P(X \leq x) = 1-e^{-\lambda x}\] e \(\mathbb E(X) = \lambda^{-1}\).

Basta então observarmos que

\[P(X \leq 1000) = 1 - e^{-\lambda 1000} = 0.75 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = \frac{\ln(4)}{1000} = 0.0013863\,.\]

Concluimos então que o tempo médio de vida, \(\mathbb E(X)\), é igual a \(1/0.0013863 = 721.35\) horas, e que \(75\%\) dos componentes duram 1000 horas ou menos.

Um antiga fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de \(800\) horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial.

Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de \(300\) horas de uso?

\(X\): vida útil do tubo de TV.

Como \(X\) tem distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda\) e \(\mathbb E[X] = 800\), temos: \[\mathbb E[X] = \frac{1}{\lambda}=800 \qquad \Longrightarrow \qquad \lambda = \frac{1}{800}.\]

Então, a f.d.p. é dada por \(\displaystyle \qquad f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{800} e^{-\frac{x}{800}}, & x \geq 0; \\ 0, & \mbox{caso contrário.} \\ \end{array} \right.\)

Se \(X < 300\), a fábrica tem que substituir gratuitamente.

\[P(X<300) = \int_0^{300}\frac{1}{800}e^{-\frac{x}{800}}dx =\left[-e^{-\frac{x}{800}} \right]_0^{300}= 0.3127\,.\]

A f.d.p. \[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2 e^{-2 x} & x \geq 0, \\ 0 & \mbox{caso contrário.} \\ \end{array} \right.\]

representa a distribuição do índice de acidez (\(X\)) de um determinado produto alimentício.

O produto é consumível se este índice for menor do que \(2\).

O setor de fiscalização apreendeu \(30\) unidades do produto. Qual a probabilidade de que pelo menos \(10\%\) da amostra seja imprópria para consumo?

Probabilidade de que pelo menos 10% de uma amostra de 30 unidades seja imprópria: \[ \begin{aligned} P(Y \geq 3) &= 1- P(Y<3) \\ &= 1 - [P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)] \\ &= 1 - \left[\binom{30}{0}(0.02)^0(0.98)^{30} + \binom{30}{1}(0.02)^1(0.98)^{29}+\binom{30}{2}(0.02)^2(0.98)^{28} \right]\\ &= 0.022\,. \end{aligned} \]