Imagine-se em um programa de auditório em que 3 portas são colocadas à sua frente.
Atrás de uma delas há um bom prêmio e atrás das outras duas não há nada.
O apresentador pede que você escolha uma das 3 portas.
Após a sua escolha, ele mostra uma porta que está vazia pra você. Então ele pergunta se você quer trocar a sua porta pela outra que restou.
Qual a melhor estratégia: (1) trocar ou (2) ficar com a primeira escolha?
Você acha que há alguma diferença?
A seguir apresentamos os resultados obtidos durante a aula:
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| Trocou?/Ganhou? | Nao | Sim |
|---|---|---|
| Nao | 10 | 3 |
| Sim | 10 | 17 |
\[ P(\mbox{Ganhou }| \mbox{ Trocou}) = 0.63\]
\[ P(\mbox{Ganhou }| \mbox{ Não Trocou}) = 0.23\]
Entre os participantes que escolheram a estratégia de trocar de porta, temos que 63% saÃram vencedores.
Já entre os que escolheram não trocar, temos que 23% venceram.
O experimento foi repetido poucas vezes.
O ideal seria repetirmos muitas vezes e observarmos a proporção de vencedores para cada estratégia ao final das repetições. Quanto seria “muitas vezes”?
Algo perto de infinito!
Como temos tempo e bombons finitos, podemos fazer uma simulação da “Porta dos Desesperados”, através de um programa de computador.
O código a seguir (em R) apresenta a simulação de 10000 programas da “Porta dos Desesperados”.
n <- 10000
resultadoQuandoNaoTroca <- c()
resultadoQuandoTroca <- c()
portas <- c("A","B","C")
for (i in 1:n) {
## número da porta com o prêmio, escolhida ao acaso pela produção do programa
portapremio <- sample(portas, size=1)
## número da porta escolhida ao acaso pelo participante
portaescolhida <- sample(portas, size=1)
portaslivres <- portas[portas != portaescolhida & portas !=portapremio]
## porta mostrada pelo apresentador, escolhida ao acaso entre as portas vazias disponÃveis.
ApresentadorMostra <- sample(portaslivres, size=1)
## indica a porta escolhida após a troca
trocouPorta <- portas[portas != portaescolhida & portas != ApresentadorMostra]
resultadoQuandoNaoTroca[i] <- ifelse(portaescolhida == portapremio, "ganhou", "perdeu")
resultadoQuandoTroca[i] <- ifelse(trocouPorta == portapremio, "ganhou", "perdeu")
}
proporcaoManteveGanhou <- mean(resultadoQuandoNaoTroca == "ganhou")
proporcaoTrocouGanhou <- mean(resultadoQuandoTroca == "ganhou")
Em 10000 vezes:
Estratégia não trocar de porta: ganha 32.85% das vezes.
Estratégia trocar de porta: ganha 67.15% das vezes.
Portanto, a estratégia trocar de porta é a que tem maior chance de ganhar.
Dizemos que os eventos \(B_1, B_2, \ldots, B_k\) formam um partição do espaço amostral \(\Omega\) se são mutuamente exclusivos e a união é \(\Omega\).
Teorema das probabilidades totais:
\[P(A)=\sum_{i=1}^kP(A\mid B_i)P(B_i)\]
Teorema de Bayes:
\[P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum_{i=1}^kP(A\mid B_i)P(B_i)}\]
Para avaliar qual a melhor estratégia, temos também a opção de fazer os cálculos através do Teorema de Bayes.
Suponha o seguinte cenário (sem perda de generalidade): o jogador escolhe a porta número 1. Considere os eventos:
Temos que:
A probabilidade do prêmio estar na porta 1 (porta escolhida pelo jogador), dado que o apresentador mostra a porta 3:
\(P(A_1 \mid O)=\frac{P(O\mid A_1)P(A_1)}{P(O\mid A_1)P(A_1)+P(O\mid A_2)P(A_2)+P(O\mid A_3)P(A_3)}=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\)
A probabilidade do prêmio estar na porta 2 (ou seja, se o jogador trocasse do porta, venceria), dado que o apresentador mostra a porta 3:
\(P(A_2 \mid O)=\frac{P(O\mid A_2)P(A_2)}{P(O\mid A_1)P(A_1)+P(O\mid A_2)P(A_2)+P(O\mid A_3)P(A_3)}=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}+0\times\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\)
Portanto, se o jogador escolhe a porta 1 e:
Slides produzidos pelos professores:
