Lançar 3 moedas honestas simultaneamente, e observar a face voltada para cima.

\[\Omega= \{ (CCC), (CCX),(CXC),(XCC),(XXC),(XCX),(CXX),(XXX)\}\]

Moedas honestas, então cada elemento do espaço amostral tem igual probabilidade de ocorrer: 1/8

Qual é a probabilidade de obtermos 3 caras?

\(A=\{(CCC)\}\)

\[P(A)=\frac{\mbox{número de elementos em A}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}}= \frac{1}{8}\]

Qual a probabilidade de obtermos pelo menos 2 caras?

\(B=\{(CCC),(CCX),(CXC),(XCC)\}\)

\[P(B)=\frac{\mbox{número de elementos em B}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}}= \frac{4}{8}=\frac{1}{2}\]

Dois dados honestos são lançados simultaneamente

O jogador deve escolher uma das duas opções antes do lançamento dos dados. Caso a opção escolhida ocorra, ele será o vencedor.

As duas opções são:

• Opção A: Soma das duas faces é igual a 7;

• Opção B: Maior valor obtido nos dois dados seja no máximo 3.

Qual das duas possibilidades ele deve escolher?

Dois dados honestos são lançados simultaneamente

Espaço amostral:

Dados honestos, então cada elemento do espaço amostral tem igual probabilidade de ocorrer: 1/36

Opção A: Soma das duas faces é igual a 7.

\(A = \{\mbox{conjunto dos pares } (i,j) \mbox{ tais que } i + j = 7\}\)

\(A=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}\)

\[P(A)=\frac{\mbox{número de elementos em A}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}}=\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]

Opção B: Maior valor obtido nos dois dados seja no máximo 3.

\(B=\{\mbox{conjunto dos pares } (i,j) \mbox{ tais que } i \leq 3 \mbox{ e } j \leq 3 \}\)

\(B=\{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}\)

\[P(B) = \frac{\mbox{número de elementos em B}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\]

Como \(P(A) < P(B)\) é mais vantajoso escolher a opção B.

• Espaço amostral finito \(\Omega=\{\omega_1, \ldots, \omega_n\}\) com elementos equiprováveis, então:

\[P(A) = \frac{\mbox{número de elementos no evento A}}{\mbox{número de elementos no espaço amostral}}.\]

• Precisamos conhecer regras de contagem para calcular probabilidade de eventos.

Exemplo: Em um grupo de 100 pessoas, 2 são daltônicas. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica?

De quantas maneiras podemos selecionar 10 pessoas a partir de um grupo de 100 pessoas, sem reposição?

Regra da adição: suponha que temos dois procedimentos possíveis para executarmos uma tarefa, ou seja, basta executarmos um dos dois procedimentos para que a tarefa tenha sido executada.

O procedimento \(P_1\) tem \(n_1\) formas de ser executado e o procedimento \(P_2\) tem \(n_2\) formas de ser executado.

O total de maneiras para executarmos a tarefa é então dado por \(n_1+n_2\).

Há dois sabores de torta: baunilha ou cereja.
Há três sabores de sorvete: morango, chocolate e creme.

Quantas opções você tem no total?

Você pode escolher torta OU sorvete, então existem \(2 + 3= 5\) opções.

Regra da multiplicação: suponha que para realizarmos uma tarefa temos que executar dois procedimentos, denotados por \(P_1\) e \(P_2\).

O procedimento \(P_1\) tem \(n_1\) formas de ser executado e o procedimento \(P_2\) tem \(n_2\) formas de ser executado.

O total de maneiras para executarmos a tarefa é dado por \(n_1 \times n_2\).

Exemplo: Você vai no Spoleto e vê no cardápio “Monte sua Massa”.

Quantas opções de pratos você têm no total?

Você pode criar \(5 \times 3 \times 5 \times 2= 150\) pratos diferentes.

Apenas aos sábados, o restaurante oferece a “Torta da Casa”, que é uma torta com sorvete em cima. Aos sábados, quantas opções de sobremesa você tem no total?

• \(2+3= 5\) opções caso não escolha “Torta da Casa”.

• \(2\times 3= 6\) opções de “Torta da Casa”.

• Total: 11 opções de sobremesa.

De quantas formas diferentes podemos escolher a placa de um carro, tendo essa 3 letras e 4 números?

\[ 26 \times 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 175.760.000\]

E se não pudesse haver repetição de letras e números?

\[ 26 × 25 × 24 × 10 × 9 × 8 × 7 = 78.624.000\]

Suponha que tenhamos uma coleção \(O=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) de \(n\) objetos. De quantas maneiras podemos permutar (dispor) estes elementos?

O número de maneiras que podemos fazer isto é denominado permutação.

Suponha que temos \(n\) caixas e queremos dispor os \(n\) objetos de \(O\) nessas caixas.

Aplicando a regra da multiplicação, temos que o número de maneiras de permutar \(n\) elementos é: \[n\times(n-1)\times\ldots\times1=n!\]

Exemplo 1: Se tivermos três CD’s (\(a\), \(b\) e \(c\)). De quantas formas diferentes posso distribuí-los para três amigos?

\[3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Ou seja, temos as seguintes permutações: \[abc, acb, bac, bca, cab, cba\]

Exemplo 2: Quantos anagramas podemos formar com a palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?

\[ 1 \times 6! \times 2 = 1440\]

Suponha que queremos permutar \(n\) objetos, mas alguns deles são indistinguíveis.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra PEPPER?

Seria \(6! = 720\), certo?

Mas note que P¹E¹P²P³E²R = P²E¹P¹P³E²R

Na verdade, existem \(3! 2! = 12\) permutações quer resultam no mesmo anagrama

Portanto, o número de possíveis anagramas distintos é:

\[\frac{6!}{3!2!} = 60\]

O número de divisões possíveis de \(n\) objetos distintos em \(r\) grupos distintos de tamanhos respectivos \(n_1, n_2, \dots, n_r\) (\(n_1 + \dots + n_r = n\)) é

\[\binom{n}{n_1, n_2, \dots, n_r} = \frac {n!}{n_1! \, n_2! \, \dots \, n_r!},\]

que é chamado um coeficiente multinomial.

Suponha que tenhamos uma coleção \(O=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) de \(n\) objetos.

De quantas maneiras podemos escolher \(r\) destes elementos?

O número de maneiras que podemos fazer isto é denominado arranjo.

Suponha que temos \(r\) caixas e queremos dispor os \(n\) objetos de \(O\) nessas caixas.

Aplicando a regra da multiplicação, temos que o número de maneiras de arranjar \(n\) elementos em \(r\) caixas é: \[n \times(n-1) \times \ldots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} = A(n,r)\]

Exemplo: Se tivermos os objetos \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\), de quantas maneiras podemos escolher 2 elementos:

\[A(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = 12,\]

que seriam as seguintes: \(ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc\).

Suponha que tenhamos uma coleção \(O=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) de \(n\) objetos.

De quantas maneiras podemos escolher \(r\) destes elementos sem considerarmos a ordem?

O número de maneiras que podemos fazer isto é denominado combinação.

O número de maneiras de alocarmos os \(n\) objetos em \(r\) caixas é:

\[A(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]

Como a ordem não importa, após alocarmos os \(r\) objetos, temos \(r!\) formas de permutá-los.

Então o número de maneiras de escolhermos \(r\) objetos sem importar a ordem dentre \(n\) objetos é: \[\frac{A(n,r)}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}=C(n,r)\]

Exemplo: Se tivermos os objetos \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\), de quantas maneiras podemos escolher 2 elementos sem considerar a ordem?

\[ C(4, 2) = \binom{4}{2} = 6,\]

que seriam as seguintes: \(ab,ac,ad,bc,bd,cd\).

Sete atletas estão competindo nas olimpíadas. O pódium tem 3 lugares: ouro, prata e bronze. Quantos pódiuns podem ser feitos?

• A ordem importa (ouro, prata e bronze):

\[7 \times 6 \times 5 = 210\]

\[A(7,3)=\frac{7!}{(7-3)!}= 210\]

• A ordem não importa:

\[C(7,3)=\frac{7!}{3!(7-3)!}= 35\]

Em um grupo de 100 pessoas, 2 são daltônicas. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição.

Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica?

De quantas maneiras podemos selecionar 10 pessoas a partir de um grupo de 100 pessoas, sem reposição?

\[C(100,10)=\binom{100}{10}\]

De quantas maneiras podemos selecionar 1 pessoa a partir de um grupo de 2 pessoas daltônicas?

\[C(2,1)=\binom{2}{1}\]

Em um grupo de 100 pessoas, 2 são daltônicas. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição.

Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica?

De quantas maneiras podemos selecionar 9 pessoas a partir de um grupo de 98 pessoas com visão normal?

\[C(98,9)=\binom{98}{9}\]

Então, a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica: \[\frac{\binom{2}{1}\binom{98}{9}}{\binom{100}{10}}\]

Uma caixa contém 2 bolas vermelhas, 3 verdes e 2 azuis. Duas bolas são selecionadas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que nenhuma bola seja azul?

• Total de bolas: 7
• Maneiras de sortear 2 bolas dentre 7 bolas: \(C(7,2)=\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=21\)

• \(A\)=sortear 2 bolas, nenhuma sendo azul.

\[C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10\]

\[P(A)=\frac{10}{21}\]

Em uma classe, há 15 meninos e 10 meninas. Três alunos são selecionados ao acaso. Qual a probabilidade de sortear 1 menina e 2 meninos?

• Maneiras de sortear 3 alunos dentre 25:
  \(C(25,3)=\binom{25}{3}=\frac{25!}{3!(25-33)!}= 2300\)

• \(A\)=sortear 1 menina e 2 meninos.

\(C(10,1) = \frac{10!}{1!(10-1)!}= 10 \;\;\;\;\;\) e \(\;\;\;\;\; C(15,2) = \frac{15!}{2!(15-2)!}= 105\)

Número de elementos em \(A\)= \(C(10,1)\) x \(C(15,2) = 1050\).

\[P(A)=\frac{1050}{2300}=\frac{21}{46}\]

Uma sacola tem 4 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 azuis. Três bolas são selecionadas ao acaso da sacola. Qual a probabilidade de que todas elas sejam vermelhas?

• Total de bolas: 15
• Maneiras de sortear 3 bolas dentre 15 bolas:
  \(C(15, 3)=\binom{15}{3}=\frac{15!}{3!(15-3)!}=455\)
• \(A\)=sortear 3 bolas vermelhas.

\[C(5, 3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10\]

\[P(A)=\frac{10}{455}=\frac{2}{91}\]

Nessa sala com mais de 100 alunos, quantas pessoas vocês acham que fazem aniversário no mesmo dia?

Eu aposto que existem pelo menos um par de pessoas que fazem aniversário no mesmo dia!!!

Vamos verificar?

Para calcular a probabilidade de que em uma sala com \(n\) pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário: desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis.

É mais fácil calcular a probabilidade do evento \(A\), definido como todos os \(n\) aniversários são diferentes:

\[\begin{eqnarray} P(A)&=&1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)\\ &=&{365\cdot 364\cdots (365-n+1) \over 365^{n}}\\ &=&{365! \over 365^{n}(365-n)!} \end{eqnarray}\]

A segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O evento de pelo menos duas pessoas entre \(n\) terem o mesmo aniversário (chamaremos de evento \(B\)) é o complementar de todos \(n\) serem diferentes (evento \(A\)).

Consequentemente, sua probabilidade é:

\[P(B)=1-P(A)\]

Qual é a probabilidade de pelo menos uma coincidência?

Amostragem Aleatória Simples (AAS) é um plano amostral no qual \(n\) unidades são selecionadas de uma lista com \(N\) unidades, de tal forma que cada combinação possível das \(n\) unidades tenha a mesma probabilidade de ser selecionada.

Há dois tipos de AAS:

• \(AAS_c\): amostragem aleatória simples com reposição.

• \(AAS_s\): amostragem aleatória simples sem reposição.

Número de amostras possíveis de \(n\) elementos de uma população de \(N\).

• \(AAS_c\): \(N^n\)

• \(AAS_s\):
• \(\binom{N}{n}\), caso não ordenado.
• \(\frac{N!}{(N-n)!}\), caso ordenado.

Exemplo: amostra de tamanho \(n=2\) de uma população de tamanho \(N=4\).

Elementos da população: {A, B, C, D}

Usando \(AAS_c\), podemos obter: \(4^2=16\) amostras diferentes.

Exemplo: amostra de tamanho \(n=2\) de uma população de tamanho \(N=4\).

Elementos da população: {A, B, C, D}

Usando \(AAS_s\), ordenada, podemos obter: \(4!/(4-2)!=12\) amostras diferentes.

Exemplo: amostra de tamanho \(n=2\) de uma população de tamanho \(N=4\).

Elementos da população: {A, B, C, D}

Usando \(AAS_s\), não-ordenada, podemos obter: \(\binom{4}{2}=6\) amostras diferentes.

\(AAS\): todas as amostras têm a mesma probabilidade de serem selecionadas.

A probabilidade de se selecionar cada amostra de tamanho \(n\) é:

• \(AAS_c\): \(1/N^n\)

• \(AAS_s\):
• \(1/\binom{N}{n}\), caso não ordenado.
• \(1/\frac{N!}{(N-n)!}\), caso ordenado.

Uma comissão formada por 3 estudantes tem que ser selecionada numa classe de 20 alunos.

De quantas formas diferentes pode ser selecionada essa comissão?

\[C(20,3)=\binom{20}{3}=\frac{20!}{3! (20-3)!}= 1140\]

(sem reposição e ordem não importa)

Um ônibus possui 10 assentos disponíveis.

De quantas formas 7 passageiros podem ocupar os assentos?

\[ \frac{10!}{(10-7)!}=\frac{10!}{3!}=10\times9\times8\times7\times6\times5\times4=604800\]

(sem reposição e ordem importa)