Sua opinião sobre o comportamento de uma variável muda na presença de informação de uma segunda variável?

A distribuição conjunta das duas variáveis descreve a associação existente entre elas.

Grau de dependência: como uma variável “explica” ou se “associa” a outra.

Assim como na análise univariada estas relações podem ser resumidas por gráficos, tabelas e/ou medidas estatística. O tipo de resumo vai depender dos tipos das variáveis envolvidas. Vamos considerar três possibilidades:

• as duas variáveis são qualitativas;
• as duas variáveis são quantitativas; e
• uma variável é quantitativa e a outra qualitativa.

Podemos considerar também proporções condicionais (frequências relativas):

• em relação ao total de elementos;
• em relação ao total de cada linha;
• em relação ao total de cada coluna.

A proporção condicional escolhida depende do estudo que pretendemos fazer.

Proporções condicionais são estimativas das probabilidades condicionais!

No caso das tabelas de contingência serem geradas à partir de uma amostra, temos que as proporções condicionais são estimativas das probabilidades condicionais da população representada pela amostra.

Queremos estudar o comportamento conjunto de duas variáveis: Grau de Instrução (\(X\)) e Região de Procedência (\(Y\)).

Nessa tabela temos:

• 4 pessoas da capital com ensino fundamental.
• Na última coluna: frequência de cada nível da variável \(Y\).
• Na última linha: frequência de cada nível da variável \(X\).

Parte interna da tabela de contingência: frequências conjuntas entre \(X\) e \(Y\).

Distribuição das frequências relativas ao total da amostra.

Do total de 36 funcionários na amostra:

• 11% são da capital e possuem ensino fundamental.
• 19% são do interior e possuem ensino médio.
• 50% possuem ensino médio.
• 33% são do interior.

Distribuição das frequências relativas ao total de cada coluna.

Entre os funcionários com ensino médio:

• \(28\%\) são da capital.
• \(39\%\) são do interior.
• \(33\%\) são de outros locais.

Permite comparar a distribuição de procedência (\(Y\)) conforme o grau de instrução (\(X\)).

Distribuição das frequências relativas ao total de cada linha.

Entre os funcionários do interior:

• \(25\%\) possuem Ensino Fundamental
• \(58\%\) possuem Ensino Médio.
• \(17\%\) possuem Ensino Superior.

Permite comparar a distribuição do grau de instrução (\(X\)) conforme a procedência (\(Y\)).

Existe dependência entre o sexo (\(X\)) e a carreira escolhida (\(Y\)) por 200 alunos de Economia e Administração?

• A proporção de alunos em Economia é similar para cada sexo?

• Ser similar em cada sexo não quer dizer que seja 50% na Economia e 50% na Administração em cada sexo.

• Queremos saber se o padrão das proporções dos cursos é parecido ou não entre os sexos.

• Usaremos a distribuição das frequências relativas ao total de cada coluna.

Veja a tabela das frequências relativas ao total de cada coluna.

• No geral, sem considerar os sexos (última coluna), temos que \(60\%\) dos estudantes preferem economia e \(40\%\) administração.

• Se sexo e carreira escolhida forem independentes (sem associação), espera-se que, para cada sexo, a escolha das carreiras tenha essas mesmas proporções.

Sexo masculino: \(61\%\) na carreira de economia e \(39\%\) na de administração.
Sexo feminino: \(58\%\) na carreira de economia e \(42\%\) na de administração.

Os dados indicam que não há associação entre as variáveis.

Uma pesquisa foi feita para investigar a presença de pesticidas em alimentos orgânicos e convencionais. Os resultados estão na tabela abaixo:

Algumas perguntas que podemos responder:

Qual a proporção de alimentos com pesticidas? \[\frac{19514}{26698} = 0.731\]

Qual a proporção de alimentos com pesticidas dentre os orgânicos?

Qual a proporção de alimentos com pesticidas dentre os convencionais?

Fonte: https://doi.org/10.1080/02652030110113799

Proporção condicional: condicionalmente à informação de uma variável, observamos a proporção da outra variável.

• Qual a proporção de pesticidas entre alimentos orgânicos?

• Qual a proporção de pesticidas entre alimentos convencionais?

No exemplo dos pesticidas, condicionado no tipo de alimento, temos:

No geral, qual a proporção de pessoas diz que está muito feliz?

\[\frac{265}{852} = 0.31\]
Será que o nível de felicidade muda para cada tipo de renda? Como comparar?

Proporções condicionais do nível de felicidade para cada nível de renda:

A Escola de Saúde Pública da Harvard fez uma pesquisa com 200 cursos de graduação em 2001.

A pesquisa pergunta aos alunos sobre hábitos relacionados à bebida.

Qual o número de alunos:

• do sexo masculino e que beberam em excesso?

• do sexo feminino e que beberam em excesso?

Usando diretamente a tabela, podemos responder à pergunta:

Há diferença entre homens e mulheres na proporção de ocorrência de bebida em excesso?

Objetivo: obter uma medida que permita quantificar a relação linear que pode existir entre duas variáveis (positiva, negativa, muita ou pouca).

Dado \(n\) pares de observações \((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})\): \[Corr(X,Y)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}-\bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_{i}-\bar{y}}{s_y}\right)\] onde \(s_x\) é o desvio padrão de \(X\) e \(s_y\) é o desvio padrão de \(Y\).

Essa medida leva em consideração todos os desvios \((x_{i}-\bar{x})\) e \((y_{i}-\bar{y})\) padronizados da forma \(z_{x_i}=\frac{x_{i}-\bar{x}}{s_x}\) e \(z_{y_i}=\frac{y_{i}-\bar{y}}{s_y}\).

Interpretação: \(z_{x_i}\) indica o número de desvios-padrão que a observação \(x_i\) está afastada da média de X.

• \(-1 \leq Corr(X, Y) \leq 1\)

• \(Corr(X, Y)\) próxima de 1: \(X\) e \(Y\) estão positivamente associadas e o tipo de associação entre as variáveis é linear.

• \(Corr(X, Y)\) próxima de -1: \(X\) e \(Y\) estão negativamente associadas e o tipo de associação entre as variáveis é linear.

• Se \(z_{x}\) e \(z_y\) têm o mesmo sinal, estamos somando um termo positivo na expressão da correlação.

• Se \(z_{x}\) e \(z_y\) têm sinais opostos, estamos somando um termo negativo na expressão da correlação.

• Correlação é a média dos produtos de \(z_x\) e \(z_y\).

Anos de Serviço (\(X\)): \(\quad \bar{x}=5 \quad \mbox{e} \quad s_x=2.24\)
Nº de Clientes (\(Y\)): \(\quad \bar{y}=60 \quad \mbox{e} \quad s_y=8.94\)

\[Corr(X, Y)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}z_{x_i}z_{y_i}=\frac{3.8}{5-1}=0.95\]

Número de passos diários coletados para uma pessoa usando um Fitbit durante 297 dias.

Qual é maior? Média ou mediana?

Média é 9154 e mediana é 8597.

Além do total de passos, Fitbit também registra o tempo gasto em cada tipo de atividade.

Há relação entre o total de passos e o tempo gasto em atividade intensa?

Correlação: 0.76

Há relação entre o total de passos e o tempo (em minutos) de sedentarismo?

Correlação: -0.76

Baseado na altura, peso e gênero, o Fitbit estima o comprimento de cada passo.

Há relação entre o total de passos e distância percorrida?

Correlação: 1