Considere dois conjuntos de dados:

\[\begin{align*} & A = \{1, 2, 3\} & \Longrightarrow & \qquad \overline{x}_A = 2, \quad s_A= 1 \\ & B = \{101, 102, 103\} & \Longrightarrow & \qquad \overline{x}_B = 102, \quad s_B= 1 \end{align*}\]

Ambos têm o mesmo desvio padrão.

Se compararmos as escalas de cada conjunto de dados, poderíamos dizer que o segundo conjunto tem menor dispersão.

Veja que:

• A maior observação do conjunto \(A\), 3, é 3 vezes maior do que a menor observação, 1.
• Já a maior observação do conjunto \(B\), 103, é 2% maior do que a menor observação, 101.

Considere as notas de 2 provas:

Prova 1: Notas de 0 a 100
Média da turma: \(\bar x_1 = 70\)
Desvio padrão: \(s_1 = 1\)

Prova 2: Notas 0 a 10
Média da turma: \(\bar x_2 = 7\)
Desvio padrão: \(s_2 = 1\)

Neste caso, como as escalas são diferentes, não podemos tirar conclusões usando apenas o desvio padrão.

Coeficiente de variação (CV): razão do desvio padrão \(s\) pela média \(\bar x\), isto é \[CV= \frac{s}{\bar{x}}.\]
Exemplo: \[\begin{align*} & A = \{1, 2, 3\} & \Longrightarrow & \qquad \overline{x}_A = 2, \quad s_A= 1 \\ & B = \{101, 102, 103\} & \Longrightarrow & \qquad \overline{x}_B = 102, \quad s_B= 1 \end{align*}\]

Nesse caso, \[CV_A = \frac{s_A}{\overline{x}_A} = 0.5 \qquad \mbox{e} \qquad CV_B = \frac{s_B}{\overline{x}_B} = 0.0098.\]

Média e mediana: medidas de posição central.

Amplitude e desvio padrão: medidas de dispersão.

Há outros tipos de medida de posição para descrever a distribuição dos dados: quartis e percentis.

Quartis dividem os dados em 4 partes iguais: primeiro quartil (\(Q_1\)), segundo quartil (\(Q_2\)) e o terceiro quartil (\(Q_3\)).

O p-ésimo percentil é o valor tal que uma porcentagem p dos dados ficam abaixo dele.

Para obter os quartis:

1. Ordene os dados em ordem crescente.

2. Encontre a mediana \(Q_2\).

3. Considere o subconjunto de dados abaixo da mediana. \(Q_1\) é a mediana deste subconjunto de dados.

4. Considere o subconjunto de dados acima da mediana. \(Q_3\) é a mediana deste subconjunto de dados.

Considere as quantidades de sódio (mg) em 20 cereais matinais:

Para obter \(Q1\), calcula-se a mediana considerando apenas as 10 primeiras observações ordenadas: 0, 70, 125, 125, \(\underbrace{140, 150}_{Q_1=145}\), 170, 170, 180, 200

Para obter \(Q3\), calcula-se a mediana considerando apenas as 10 últimas observações ordenadas: 200, 210, 210, 220, \(\underbrace{220, 230}_{Q_3=225}\), 250, 260, 290, 290

Vimos na aula passada que as posições da média e mediana fornecem informação sobre o formato da distribuição.

Em geral, se a distribuição é:
- Perfeitamente simétrica: média = mediana.
- Assimétrica à direita: média \(>\) mediana.
- Assimétrico à esquerda: média \(<\) mediana.

Para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica:

• \(Q_2-x_{(1)}\approx x_{(n)}-Q_2\)

• \(Q_2-Q_1\approx Q_3-Q_2\)

• \(Q_1-x_{(1)} \approx x_{(n)}-Q_3\)

• distâncias entre a mediana e \(Q_1\), \(Q_3\) menores do que as distâncias entre os extremos e \(Q_1\), \(Q_3\).

Veja as medidas resumo dos pesos (em libras) de 64 alunas de Educação Física: \(\bar{x}=133\), \(Q_1=119\), \(Q_2=131.5\), e \(Q_3=144\).

Como interpretar os quartis?

• 25% das alunas pesa até 119 libras.
• 25% das alunas pesa mais do que 144 libras.
• 75% das alunas pesa até 144 libras.

Você acredita que a distribuição seja simétrica? \[Q_2-Q_1\approx Q_3-Q_2\quad(?)\]

\[\underbrace{Q_2-Q_1}_{131.5-119=12.5}=\underbrace{Q_3-Q_2}_{144-131.5=12.5}\]

A vantagem do uso de quartis sobre o desvio padrão ou a amplitude, é que os quartis são mais resistentes a dados extremos, ou seja, são mais robustos.

Intervalo interquartílico (IQ) = \(Q_3-Q_1\)

Representa 50% dos dados localizados na parte central da distribuição.

Importante: examinar os dados para verificar se há observações discrepantes.

• Média e desvio padrão são muito afetados por observações discrepantes.

• Após detectar a observação discrepante, verificar se não é um erro de digitação ou um caso especial da sua amostra.

• Com poucos dados, podemos detectar um dados discrepante facilmente, apenas observando a sequência ordenada.

• Podemos usar o IQ como um critério mais geral de detecção de dados discrepantes.

Como regra geral, dizemos que uma observação é um potencial outlier se está:

• abaixo de \(Q_1-1.5\times IQ\) ou
• acima de \(Q_3+1.5 \times IQ\).

Dizemos potencial outlier, pois se a distribuição tem cauda longa, algumas observações irão cair no critério, apesar de não serem outliers.

Boxplot : representação gráfica do esquema dos 5 números.

Esse gráfico permite resumir visualmente importante características dos dados (posição, dispersão, assimetria) e identificar a presença de outliers.

ATENÇÃO: Prestem atenção no que são os limites inferior e superior!!!

Voltando no exemplo das quantidades de sódio (mg) em 20 cereais matinais:

\[0, 70, 125, 125, 140, 150, 170, 170, 180, 200,\] \[200, 210, 210, 220, 220, 230, 250, 260, 290, 290\]

Já calculamos anteriormente: \(Q_2 = 200, Q_1 = 145 \mbox{ e } Q_3 = 225.\)
Esses valores podem ser representados pelo boxplot a seguir:

Regra para detectar outliers: \(IQ=Q_3-Q_1=225-145=80\) \(Q_1-1.5\times IQ = 25 \quad \mbox{e} \quad Q_3+1.5\times IQ = 345\)

Então, possíveis outliers são observações menores que 25 ou maiores que 345.

Limites Superior e Inferior: as linhas pontilhadas denotam o mínimo/máximo dos dados que estão na região entre 25 e 345.

Limite superior: a observação máxima dos dados, 290, está no intervalo, então a linha superior vai até 290.

Limite inferior: a observação mínima dos dados, 0, está fora do intervalo (outlier=0). Desconsiderando o outlier, o valor mínimo dos dados é 70, que está no intervalo. Portanto, a linha inferior vai até 70.

Responda:

1. Qual a amplitude dos dados?

2. Encontre os valores da mediana e de \(Q_1\) e \(Q_3\)?

3. Desenhe um boxplot.

Ordenando os dados: \[3.9,\; 4.4,\; 4.5,\; \mathbf{4.6},\; 4.8,\; 6.0,\; 6.0,\; \mathbf{6.7},\; 8.3,\; 8.5,\; 8.9,\; \mathbf{9.2},\; 9.3,\; 9.5,\; 11.2\]

A tabela abaixo apresenta a população (em 1000 habitantes) dos 26 estados brasileiros e o Distrito Federal.

Temos 27 estados (\(n\) é ímpar).

Portanto, a mediana é \(x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}= x_{\left(\frac{27+1}{2}\right)}=x_{(14)}=3098\) (ES).

A metade inferior dos dados: 13 observações.
A mediana deste subconjunto é \(Q_1=x_{(7)}=2052\) (DF).

A metade superior dos dados: 13 observações.
A mediana deste subconjunto é \(Q_3=x_{(21)}=7919\) (PE).

\(IQ=Q_3-Q_1=7919-2052=5867\)

População (em 1000 habitantes):

\(Q_1-1.5\times IQ=-6748.5\)

\(Q_3+1.5\times IQ=16720\)

Temos outliers?

Boxplot não substitui o histograma e vice-versa.

Por exemplo, se a distribuição é bimodal, não observamos isso pelo boxplot.