Imagine que eu queira estimar a proporção da área de Campinas que tenha pelo menos um ponto de ônibus a menos de XXXXX km de distância.

Como fazer? Qual estratégia você consegue pensar para descobrir isso? É factível?

Podemos pensar em dividir todo o território de Campinas em quadrados de 1 \(m^2\), por exemplo, e denotar contar, quantos desses quadrados têm pelo um ponto de ônibus a menos de XXXXX km de distância. A proporção então é

\[p=\frac{\# \mbox{ quadrados de 1 }m^2\mbox{ com pelo menos 1 ponto de ônibus a menos de XXXX de distância}}{\# \mbox{ quadrados de 1 }m^2}\]

Levaria um certo tempo/esforço para conseguir esta informação.

Seja \(X_i\) uma variável aleatória indicando se o ponto \(i\) na cidade de Campinas tem pelo menos 1 ponto de ônibus a menos de XXXX km de distância. \(X_i=1\) se tem e 0 se não tem.

Se a verdadeira proporção de locais com pelo menos 1 ponto de ônibus a menos de xxxx km de distância é \(p\), então temos que \(P(X_i=1)=p\) e \(P(X_i=0)=1-p\).

\[X_i\sim b(p)\,\quad \forall i\]

\[E(X_i)=p\,\quad \forall i\]

\[Var(X_i)=p(1-p)\,\quad \forall i\]

Se definirmos \(X=\sum_{i=1}^nX_i\), sabemos que \(X\sim Binomial(n,p)\), portanto \(E(X)=np\) e \(Var(X)=np(1-p)\).

Queremos um estimador para \(p\): \(\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i=\frac{X}{n}\).

Queremos um estimador com "boas propriedades".

Primeiro, note que

\[E(\hat{p})=E\left( \frac{X}{n} \right) = \frac{1}{n}E(X)=\frac{np}{n}=p\]

Ou seja, para cada amostra aleatória de \(X_i\)'s, calculamos \(\hat{p}\) e este será diferente para cada amostra. No entanto, o valor esperado é exatamente igual ao parâmetro que queremos estimar.

Além disso, note que:

\[Var(\hat{p})=Var\left( \frac{X}{n} \right) = \frac{1}{n^2}Var(X)=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}\] Ou seja, para cada amostra aleatória de \(X_i\)'s, calculamos \(\hat{p}\) e este será diferente para cada amostra, mas a variabilidade desses valores em cada amostra ao redor do verdadeiro parâmetro, diminui, se aumentarmos o tamanho da amostra.

Uma boa propriedade, por exemplo:

\[P(\mid\hat{p}-p\mid < 0.05) = 0.95\]

Podemos usar o Teorema Central do Limite, que nos diz:

\[\hat{p} \sim N(p, p(1-p)/n)\] De forma que:

\[P(\mid\hat{p}-p\mid < 0.05) = 0.95\]

\[P(-0.05 < \hat{p}-p < 0.05) = 0.95\]

\[P\left(-\frac{0.05}{\sqrt{p(1-p)/n}} < \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} < \frac{0.05}{\sqrt{p(1-p)/n}}\right) \approx 0.95\] \[P\left(-\frac{0.05}{\sqrt{p(1-p)/n}} < Z < \frac{0.05}{\sqrt{p(1-p)/n}}\right) \approx 0.95\] em que \(Z\sim N(0,1)\).

Queremos saber o tamanho amostral para ter a boa propriedade.

Mas \(p\) é desconhecido de maneira que \(Var(\hat{p})\) não pode ser utilizada. Consideramos o "pior caso": \(Var(\hat{p})=\frac{1}{4n}\).

\[P\left(-\frac{0.05}{\sqrt{1/4n}} < Z < \frac{0.05}{\sqrt{1/4n}}\right) \approx 0.95\]

A solução:

\[\frac{0.05}{\sqrt{1/4n}}=1.96\]

\[ n = \frac{1.96^2}{4\times 0.05^2} \approx 385\] Um número alto, mas lembre que consideramos o pior caso, em que \(p=1/2\). Esta suposição é plausível em Campinas?

Iremos utilizar uma amostra de tamanho \(n\) de alguns locais de Campinas.

Não iremos fisicamente nos locais, usaremos o GoogleMaps.

Como obter uma amostra aleatória de locais?

Usando o RStudio, temos o pacote mosaic com a função rgeo, que permite sortear ao acaso latitude e longitude de uma área específica.

library(mosaic)
samples = rgeo(n=total_amostras, latlim = c(?? , ??), lonlim=c(??, ??))

Problema: precisamos informar dois intervalos: para latitude e para longitude.

Utilizando o site https://www3.epa.gov/storet/RECTANGLETool_Passback.html defini um retângulo ao redor do centro de Campinas.

E o site me informa os quatro pontos do retângulo em latitude e longitude:

Agora podemos preencher a função rgeo com as informações de Campinas para realizar o sorteio dos locais.

library(mosaic)
set.seed(XYZ)  # substitua XYZ pelos 3 ultimos digitos do RA
total_amostras = 25
amostras = rgeo(n=total_amostras, latlim = c(-23.00414,-22.791414), 
                lonlim=c(-47.143304,-46.994937))

Usaremos a seguinte função para chamar o GoogleMaps centralizado na localização da amostra e com um círculo ao redor.

getLocation = function(counter) {
  googleMap(amostras[counter,"lat"], amostras[counter,"lon"], 
            mark=TRUE, maptype="terrain", radius=.1, browse=TRUE)
}

Você deverá então produzir uma tabela, em arquivo .csv com as seguintes colunas: "lat", "lon", "ponto" (sim ou não).

Para salvar a tabela das latitudes e longitudes em arquivo .csv:

write.csv(amostras, file="dados_XXXXXXX.csv") # substitua XXXXX pelo seu RA

E aí você vai preenchendo este arquivo com a terceira coluna, segundo informações obtidas pelo comando getLocation(1), getLocation(2), etc….

Como visto na aula anterior, os intervalos de \(100 (1-\alpha)\%\) de confiança para \(p\) podem então ser de duas formas:

1. Método Conservador \[IC_1(p, 1-\alpha)=\left[\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}};\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}\right]\]

2. Usando \(\hat p\) para estimar o erro-padrão \[IC_2(p, 1-\alpha)=\left[\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]\]

library(mosaic)
set.seed(XXXXXXX)  # substitua XXXXXXX pelo RA de alguém do grupo
total_amostras1 = 10
amostras1 = rgeo(n=total_amostras1, latlim = c(-23.00414,-22.791414), 
                lonlim=c(-47.143304,-46.994937))
write.csv(amostras1, file="dados_10_XXXXXXX.csv") # substitua XXXXXXX pelo RA usado no comando set.seed

getLocation = function(counter) {
  googleMap(amostras1[counter,"lat"], amostras1[counter,"lon"], 
            mark=TRUE, maptype="terrain", radius=.1, browse=TRUE)
}

# para coletar os dados:
getLocation(1)
getLocation(2)
# etc...
getLocation(10)

set.seed(XXXXXXX)  # substitua XXXXXXX pelo RA de alguém do grupo
total_amostras2 = 30
amostras2 = rgeo(n=total_amostras2, latlim = c(-23.00414,-22.791414), 
                lonlim=c(-47.143304,-46.994937))
write.csv(amostras2, file="dados_30_XXXXXXX.csv") # substitua XXXXXXX pelo RA usado no comando set.seed

getLocation = function(counter) {
  googleMap(amostras2[counter,"lat"], amostras2[counter,"lon"], 
            mark=TRUE, maptype="terrain", radius=.1, browse=TRUE)
}

getLocation(1)
getLocation(2)
# etc...
getLocation(30)

• O arquivo dados_10_XXXXXXX.csv, substituindo XXXXX pelo RA utilizado no comando set.seed. O arquivo deve ter a terceira coluna preenchida com a informação: 1 caso o local tenha ponto de ônibus dentro do raio e 0, caso contrário.

• O arquivo dados_30_XXXXXXX.csv, substituindo XXXXX pelo RA utilizado no comando set.seed. O arquivo deve ter a terceira coluna preenchida com a informação: 1 caso o local tenha ponto de ônibus dentro do raio e 0, caso contrário.

(continua)

• Um arquivo .pdf com o intervalo de confiança (conservador e não conservador) de 95% para a verdadeira proporção de locais com pontos de ônibus dentro do raio especificado na área de Campinas. Mostre os cálculos intermediários até o resultado. Interprete o intervalo de confiança para este problema. Fale sobre as suposições para que o intervalo seja válido. Sua amostra satisfaz essas suposições? Discuta em detalhes. São 4 IC a serem feitos: conservador e não conservador para \(n=10\) e \(n=30\).

• Na interpretação tome cuidado ao mencionar o parâmetro da população para a qual estamos fazendo a inferência. A população de interesse era a cidade de Campinas, mas por logística, ficou sendo apenas aquela região retangular da figura apresentada.

Para \(n=10\): \(\hat{p}=0.39\).

Para \(n=30\): \(\hat{p}=0.4\).

Usando todas as amostras de tamanho 30 da classe como se fosse uma amostra só com \(n=1320\), temos como estimativa \(\hat{p}=\frac{528}{1320}=0.4\).

IC 95% para a verdadeira proporção (\(p\)) de locais na região delimitada com pelo menos um ponto de ônibus a XX de distância:

\[IC_2(p, 1-\alpha)=\left[\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]\]

\[IC_2(p, 0.95)=\left[0.4-1.96\sqrt{\frac{0.4(1-0.4)}{1320}};0.4+1.96\sqrt{\frac{0.4(1-0.4)}{1320}}\right]\]

\[IC_2(p, 0.95)=[0.37;0.43]\]

Slides produzidos por:

• Samara Kiihl